No sé cómo probar $f(x) = x^4$ es estrictamente convexo utilizando sólo la definición de convexidad estricta: $$f((1-t)x+ty) < (1-t)f(x)+tf(y)$$ for $0 < t < 1$. ¿Esto es sólo un slog de álgebra? Si es así, parece que no puedo hacer que funcione. ¿Hay algún otro modo de probar una función como ésta es estrictamente convexo?
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Supongo que puede probar, por definición, que$x^2$ es estrictamente convexo. Ahora, usa este resultado dos veces:
$$ \begin{aligned} ((1-t)x + ty)^4 &= (((1 - t)x + ty)^2)^2 \\ &< ((1-t)x^2 + ty^2)^2 &\quad (x^2 \text{ is strictly convex})\\ &< (1-t)(x^2)^2 + t(y^2)^2 &\quad (x^2 \text { is strictly convex}) \\ &= (1-t)x^4 + ty^4 \end {aligned} $$
Nicolas Modrzyk
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Una función dos veces diferenciable $f$; $f''(x)>0$ implica $f$ es estrictamente convexo... (Es condición suficiente ).
Aquí, $f(x)=x^4$. Así, $f''(x)=12x^2>0$ % todos $x\in \mathbb R\setminus \{0\}$. Por lo tanto, es estrictamente convexa en $f$ $\mathbb R\setminus \{0\}$.
Ahora Supongamos, $x=0$ & $y\in \mathbb R$. Entonces, $f(tx+(1-t)y)=f((1-t)y)=(1-t)^4y^4<(1-t)y^4=tf(x)+(1-t)f(y) \text{ , as } 0<t<1 , $
Así, $f$ es estrictamente convexa en $\mathbb R$.
