Demostrar que mi operación es equivalente a $(n+1)!-1$

Question

Me topé con la siguiente relación con los valores pequeños de a $n$. más tarde me verificado su exactitud con una secuencia de comandos de python.

$$f([1,2,\cdots,n]) = (n+1)!-1$$

This operation $f$ is defined on a set of integers. I am sure can be expressed using $\sum$ and $\prod$ but I was not able to frame it. I will try to illustrate what this operation is using examples.

If the set was $[a,b]$, then $f([a,b])$ would be $(a+b+ab)$. If the numbers were $[a,b,c]$, it would be $(a+b+c+bc+ab+ac+abc)$. In case of $[a,b,c,d]$, It would be $[(p_1+p_2+p_3+abcd)]$ donde $p_1 = (a+b+c+d)$, $p_2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ y $p_3 = (abc+abd+acd+bcd)$.

1) por Lo que si el conjunto se $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ¿qué sería de la forma cerrada de la representación de $f([x_1, x_2, \cdots, x_n])$?

2) Para el caso de que el conjunto es $[1,2,3,\cdots,n]$ , por Favor, probar que $$f([1,2,\cdots,n]) = (n+1)!-1$$

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This is my attempt,

$$\sum_{i=1}^nx_i + \sum_{i\neq j}^nx_ix_j + \cdots + \prod_{i=1}^nx_i$$

For the case that the set is $[1,2,3,\cdots,n]$ (which is the case that is of special interest to me) I tried writing it as,

$$n! + n!\left ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \frac{1}{n} \right ) + n!\left ( \frac{1}{1\times2} + \frac{1}{1\times3} + \cdots + \frac{1}{1\times n} + \frac{1}{2\times 3} + \frac{1}{2\times 4} +\cdots \frac{1}{n(n-1)} \right ) + \cdots$$

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Here is my implementation of the function $f$,

from random import randint
import math
n = 4

# index -> 0  to 198
s = list(range(1,n+1))

while(len(s)>1 and False):
    indexA = randint(0,len(s)-1)
    a = s[indexA]
    s.remove(a)

    indexB = randint(0,len(s)-1)
    b = s[indexB]
    s.remove(b)

    s.append(a+b+a*b)
    print(s)

# The only element left in the list
ans1 = s[0]
ans2 = math.factorial(n+1)-1
print("Final Answer = "+str(ans1)+"\n")
print("(n+1)! - 1 = "+str(ans2))

En caso de que usted está confundido acerca de la forma en que he implementado esta función, usted puede comprobar fuera de mi motivativation para esta pregunta aquí.

Cualquier sugerencia para mejorar la cuestión, proponer las etiquetas es de agradecer.

Answer 1

Tienes $$ f ([a, b]) = a + b + ab = (1+a)(1+b) - 1 \\ f ([a, b, c]) = a + b + c + bc + ab + ac + abc = (1+a)(1+b)(1+c) - 1 $$ y en general $$ f([x_1, x_2, \dots, x_n]) = (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n) -1 $$ en particular $$ f([1, 2, \dots, n]) = 2 \cdot 3 \cdots (n + 1) -1 = (n + 1)! - 1 $$

Answer 2

Deje que

$$g(n)=f\left(\left[1,2,\dots,n\right]\right)+1$$

Usted puede pensar de esto como la misma suma, pero incluyendo el producto vacío.

Claramente:

$$g(0)=1=(0+1)!$$

Tal vez menos obviamente:

$$g(n+1)=g(n)+(n+1)g(n)$$

Ya $g(n)$ contiene exactamente todos los productos que no incluyen $n+1$ y $(n+1)g(n)$ contienen exactamente los productos que incluyen $n+1$.

Así que sigue por la inducción que $g(n)=(n+1)!$

Answer 3

Los diferentes términos que usted tiene en su suma se llama la symmetrics polynoms aquí.

Es un modo clásico para vincular la racines de un polynom con sus coeficientes. De hecho, en su gran suma, el i-ésimo término es simétrica, polynom que es igual que el i-ésimo coeficiente de tu polynom (con un $(-1)^{n-i}$ factor).

En su caso se puede considerar que la polynom cuya racines son 1,2...,n. Y este polynom también puede ser expresada como sigue:

$P(X)=(X-1)...(X-n)$,

Tomemos nota de $a_i$ el coeficiente de $X^i$ en este polynom. Ahora podemos notar que

$P(-1) = (-1)^n(n+1)! = (-1)^n(1 + \sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-k}a_k)$

y el plazo $\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-k}a_k$ es exactamente su suma (convencer a ti mismo y compruebe la página de wikipedia para ayudar), y finalmente encontramos que:

Su suma $= \sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-k}a_k = (n+1)! -1$

Espero que ayude.

Saludos,

Adam