La idea de 'libre' es que usted tiene un conjunto $S$ (finito o infinito), y desea crear algún objeto (grupo, módulo, álgebra, etc.) cual es generado por los elementos de S, y también no hay restricciones de las relaciones entre los elementos en S.
Así que tome $S = \{x,y\}$ por ejemplo. El grupo libre generado por S contendría $x$$y$, pero también debería contener $xy$, $x^{-1}$, $y^{-1}$, $xyyxy^{-1}x^{-1}y$, etc. Y estos son todos los elementos distintos. La libre abelian grupo también contendría $x$$y$, pero ya tenemos la 'abelian' restricción de los elementos $xy$ $yx$ son los mismos. (Abelian grupo de operaciones son normalmente escrito como $+$, por lo tanto se podría decir $x + y$ $y + x$ son los mismos).
Una consecuencia de esto es que para describir cualquier homomorphism de la libre objeto generado por $S$ a algún otro objeto, es suficiente decir que los elementos de $S$ ir Y no hay restricciones en donde los elementos de $S$ puede ir. Así, por ejemplo, los números complejos no son gratuitos real álgebra: $\mathbb{C}$ es generado (como $\mathbb{R}-$álgebra) por $1$$i$, pero cualquier homomorphism $\mathbb{C} \rightarrow A$ debe enviar $i$ a algún elemento que las plazas a $-1$. Y es importante saber que la noción de 'libre' depende de la categoría que se considera. El polinomio anillo de $\mathbb{R}[x,y]$ es un servicio gratuito de abelian $\mathbb{R}-$álgebra, pero no $\mathbb{R}-$álgebra.
Esta última propiedad (que cualquier homomorphism única es descrito por una elección arbitraria de los elementos de $S$ envía) es exactamente lo que Thomas Andrews significa cuando dice que 'libre' es un adjunto de un olvidadizo functor.
