Real proyectiva del espacio, el cociente mapa y cubriendo de proyección

Question

Como yo lo entiendo, el verdadero espacio proyectivo $\mathbb R \mathbb P^n$ se define como el cociente $S^n / \sim$ donde $x \sim y$ fib $x = \pm y$. En otras palabras, los elementos de $\mathbb R \mathbb P^n$ son parejas de antipodal puntos en $S^n$. Tenemos los asociados cociente mapa de $q : S^n \to \mathbb R \mathbb P^n$, que asigna puntos a su clase de equivalencia.

He oído que $q$ es una cubierta de proyección de $\mathbb R \mathbb P^n$, y estoy tratando de ver por qué. No sé cómo 'visualizar' real proyectiva del espacio, que supongo que es mi problema. Esto se pone de relieve por el hecho de que no veo por qué $\mathbb R \mathbb P^1 \cong S^1$. Supongo que mi preguntas son:

1. ¿Por qué es $\mathbb R \mathbb P^1 \cong S^1 $?

2. ¿Por qué es $q$ cubrimiento de proyección? Si tenemos un conjunto abierto $U$$\mathbb R \mathbb P^n$, entonces sabemos que, necesariamente, que $q^{-1}(U)$ está abierto en $S^n$ (por la definición de la topología cociente). ¿Por qué es $q^{-1}(U)$ un discontinuo de la unión de homeomórficos copias de $U$? Puedo ver que puede ser, por considerar $q^{-1}(u)$ para algunos de equivalencia de la clase $u$. No sé cómo pensar en abrir establece en un no-métricas de sentido.

3. ¿Por qué el cociente $q: S^1 \to \mathbb R \mathbb P^1 $ inducir la multiplicación por $2$$\Pi_1(\mathbb R \mathbb P^1)$? (en caso de que esto no está claro, me refiero a la homomorphism el mapa induce)

4. De hecho, ahora que lo pienso, ¿por qué es real proyectiva en el espacio conectado? ¿Por qué es localmente ruta de acceso conectado?

Respuestas a cualquiera de las anteriores y más, sería muy apreciado.

Answer 1

Vamos a pensar acerca de lo que la relación de equivalencia ponemos en puntos de $S^n$ es. Podemos identificar antipodal puntos, lo que significa que la fibra de un punto en $\mathbb{R}P^n$ bajo el cociente mapa está a sólo dos puntos opuestos. Del mismo modo, si usted mira en el ascensor de un barrio en $\mathbb{R}P^n$, mientras sea lo suficientemente pequeño, es sólo va a ser dos copias de ese barrio en los extremos opuestos de la esfera.

En dimensiones uno y dos, que rápidamente puede venir para arriba con un modelo de $\mathbb{R}P^n$ que podemos poner sobre el papel y se miran fijamente. Para $n=1$, comenzamos con el círculo de $S^1$. Nuestra relación es de equivalencia para identificar puntos opuestos, así que vamos a encontrar un conjunto de puntos representativos en $S^1$ que están en bijection con puntos en $\mathbb{R}P^1$. Cualquier línea a través del centro de la circunferencia se cortan en un punto en la mitad superior del círculo. Además, la única línea que se cruza en dos lugares es la línea horizontal. Así que esto significa que un conjunto de representantes puede ser llevado a ser los $(x,y)$ sobre el círculo con $y > 0$, junto con uno de los puntos de $(1,0)$$(-1,0)$; no importa que.

Así que ahora tenemos $\mathbb{R}P^1$ como un conjunto, y queremos asegurarnos de que tiene el derecho de topología. Un barrio de nuestra excepcional punto de $(1,0)$ "falta" algunos vecinos: también está cerca de los puntos de la forma $(x,y)$ $x > 0$ $y< 0$ pequeños. Pero estos puntos se identifica con $(-x,-y)$, los cuales son solo puntos en el otro extremo de la mitad superior del círculo. Así que esto nos dice que debemos "pegamento" juntos $(1,0)$$(-1,0)$. En nuestra construcción de la $\mathbb{R}P^1$, comenzamos con un semi-abierta segmento de línea, y luego se pegan los extremos juntos, y esto no es más que un círculo.

En cuanto a tu pregunta acerca de los grupos fundamentales (por cierto, la notación estándar es el uso de una minúscula $\pi$), sólo tenemos que mirar lo que pasa a un generador de $\pi_1(S^1)$, el bucle que va alrededor de una vez. Ya hemos construido $\mathbb{R}P^1$ $S^1$ básicamente por la reducción de nuestro círculo por un factor de dos, vemos que el bucle que recorre alrededor de un gran círculo de $S^1$ una vez que se vaya a su alrededor el círculo más pequeño $\mathbb{R}P^1$ dos veces.

Usted debe pensar acerca de lo $\mathbb{R}P^2$ "como se ve", como usted puede hacer un análogo de la construcción, para obtener un modelo para $\mathbb{R}P^2$ $S^2$ como yo lo hice para $S^1$. Lo que sucede en la frontera pone más interesante, pero es algo en que pensar.

Answer 2

Para la pregunta 2) pensar en ello de esta manera:

vamos a definir un "antipodal" el mapa de la $S^n$ $a\colon S^n \to S^n$ tal que $p \mapsto -p$. La proyección de $\pi\colon S^n \to \mathbb{P}^n$ es tal que $\pi(p) = \pi(-p) = [p]$ (vamos a soltar el $[p]$ notación cuando se habla proyectiva puntos).

Fácilmente podemos ver que $\{-p,p\} \subseteq \pi^{-1}(p)$, pero entonces recordamos que la proyectiva, el espacio es $S^n$$-p \sim p$, por lo que el $\{-p,p\} = \pi^{-1}(p)$. Lo que significa que si $U \ni p$ es un barrio de $p$$\mathbb{P}^n$, $\pi^{-1}(U) = U \coprod a(U)$ donde $\coprod$ medios distintos de la unión.

Queremos ver si $\pi_{|U}$ es un homeomorphism. En primer lugar, es continuo; recordemos que un cociente mapa es abierto si estamos quotienting por un subgrupo de $\operatorname{Homeo}(X)$ y ya que estamos quotienting por el subgrupo generado por a$a$, $\pi$ está abierto. También, $\pi_{|U}$ es, obviamente, bijective en $U$. El mismo para $\pi_{|a(U)}$.

De esta manera hemos demostrado que $(S^n, \pi)$ es una cubierta para $\mathbb{P}^n$, al menos para algunos el grado de formalidad. También podemos deducir de esto que es de grado dos (cada $\pi^{-1}(U)$ para abrir $U$ tiene exactamente la cardinalidad 2).