pregunta sobre el límite $\lim\limits_{x\to0}(100\csc^2(x)-\csc^2(\frac{x}{10}))$

Question

¿Cómo puedo encontrar este límite? $$\lim_{x\to0}\left(100\csc^2(x)-\csc^2\left(\frac{x}{10}\right)\right)$$ Por favor, ayúdenme a encontrar este límite.

Answer 1

Sugerencia: escriba $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ para que las fracciones tengan el mismo denominador, multiplicar y dividir con $x^4$ , factorizar la diferencia de cuadrados, y utilizar la regla de L'Hôpitals.

Answer 2

Tenga en cuenta que cuando $x\to0$ , $\sin(x)\sim x-\frac{x^3}{6}$ $$\begin{align}\lim_{x\to0}100\csc^2(x)-\csc^2(\frac{x}{10})&=\lim_{x\to0}\frac{100\sin^2(\frac{x}{10})-\sin^2(x)}{\sin^2(x)\sin^2(\frac{x}{10})}\\&=\lim_{x\to0}\left(10\sin(\frac{x}{10})-\sin(x)\right)\times\lim_{x\to0}\frac{10\sin(\frac{x}{10})+\sin(x)}{\sin^2(x)\sin^2(\frac{x}{10})}\\&\sim_0\left(10\left(\frac{x}{10}-\frac{\frac{x^3}{1000}}{6}\right)-x+\frac{x^3}{6}\right)\times\left(\frac{2x}{\frac{x^4}{100}}\right)=33\end{align}$$