Dadas dos reales $m$ x $k$ matrices $A_1$ $B_1$ y dos $k$ x $k$ real de las matrices de $A_2$ $B_2$ quiero resolver la siguiente ecuación para $Q$. $Q$ es una matriz ortogonal, es decir,$Q^TQ=I$.
$$\frac{tr(Q^TA_1^TB_1)}{tr(A_1^TA_1)} Q^TA_1^TB_1 + Q^TA_2^TB_2 = symmetric$$
La solución a un problema similar (sin la traza de la expresión) por ejemplo, ha sido descrito por Schönemann (1966, pág. 2) y es como sigue.
$$ Q^TA_1^TB_1 + Q^TA_2^TB_2 = simétrica \\ Q^T(\underbrace{A_1^TB_1 + A_2^TB_2}_{C}) = simétrica \\ Q^CT = C^TQ \\ C = QC^TQ \\ CC^T = QC^TQQ^TCQ^T = QC^TCQ^T $$
Con $CC^T$ $C^TC$ diagonizable y que tienen las mismas raíces latentes, vamos
$$ CC^T = WDW^T \text{y} C^TC = VDV^T \\ \text{con} \\ I = W^TW = WW^T = V^TV = VV^T$$
Tenemos $$ WDW^T = QVDV^TQ^T$$ y así $$W=QV \\ \text{y} \\ Q=WV^T$$
Traté de trabajar un argumento a lo largo de las mismas líneas, pero no sé cómo hacer eso con la traza de la expresión, que también contiene $Q$. Alguna idea?
PS. Soy un psicólogo, no matemático, así que por favor tengan paciencia conmigo ;)
Schönemann, P. H. (1966). Una solución generalizada de la ortogonales procrustes problema. Psychometrika, 31(1), 1-10. doi:10.1007/BF02289451
