Puede el valor de la integral de la $$u:=\int_0^1 \ln(x)\tan(x)dx$$ se expresa en forma cerrada ?
Wolfram Alpha no encuentra un antiderivate ni cerrado, forma de expresión, pero hay casos donde no antiderivate existe, pero con el parámetro-integrales , de diferenciación o integración con respecto al parámetro da una forma cerrada de el valor de la integral, por lo que aún puede ser una forma cerrada para $u$.
Es $u$ racionales, irracionales algebraicas y trascendentales ?
El uso de la $lindep-$ $algdep-$ comando de PARI/GP, no pude encontrar ninguna indicación de que $u$ podría ser algebraicas o incluso racional. Pero, ¿hay alguna forma de averiguar su numéricos de estado ?
El valor numérico de $u$ $-0.2756872738004371638897520614\cdots$
Sustituyendo $t=\ln(x)$ da $$u=\int_{-\infty}^0 te^t \tan(e^t)dt$$
Sustituyendo $t=\tan(x)$ da $$u=\int_0^{tan(1)} \ln(\arctan(t))\frac{t}{t^2+1}dt$$
Aquí lo que Wolfram Alpha obtiene tratando de integración por partes :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+log(x)*tan(x)+by+piezas
Respuestas
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Como Fabian escribió, probablemente, no hay forma cerrada para esta serie, pero tal vez es interesante ver otra serie representación. Tenga en cuenta que $$I=\int_{0}^{1}\log\left(x\right)\tan\left(x\right)dx $$ $$\stackrel{IBP}{=}\int_{0}^{1}\frac{\log\left(\cos\left(x\right)\right)}{x}dx $$ and using the Fourier series of $-\log\left(\cos\left(x\right)\right) $ we have $$I=\lim_{\epsilon\rightarrow0^{+}}\log\left(2\right)\log\left(\epsilon\right)+\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{k}\int_{\epsilon}^{1}\frac{\cos\left(2kx\right)}{x}dx $$ $$=\lim_{\epsilon\rightarrow0^{+}}\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}\int_{\epsilon}^{1}\frac{\cos\left(2kx\right)-1}{x}dx $$ $$=\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}\int_{0}^{1}\frac{\cos\left(2kx\right)-1}{x}dx =\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}\int_{0}^{2k}\frac{\cos\left(u\right)-1}{u}du $$ and recalling the definition of the Cosine integral we get $$I=\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}\left(\textrm{Ci}\left(2k\right)-\gamma-\log\left(2k\right)\right) $$ or $$I=\color{red}{\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}\left(2k\right)^{2n}}{2n\left(2n\right)!}} $$ unfortunately we can't switch the two series and so we have to stop here. Note that if we had $$S_{2}=\sum_{k\geq1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k^{\color{blue}{2}}}\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}\left(2k\right)^{2n}}{2n\left(2n\right)!} $$ we could exchange the series $$S_{2}=\sum_{n\geq1}\frac{\left(-1\right)^{n}2^{2n-1}}{n\left(2n\right)!}\left(1-2^{2n-1}\right)\zeta\left(2-2n\right) $$ actually this is a finite series, due to the fact that $\zeta\left(-2m\right)=0,\,\forall m\geq1$.
No creo que exista una solución de forma cerrada (en el sentido convencional). Parece ser prácticamente imposible que el valor sea algebraico. En cualquier caso, se puede transformar en una suma infinita a través de \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ' ^ N (1-4n)} {(2n)!} \ Overbrace {\ int_0 ^ 1 \! Dx \ log x \, x ^ {2n-1}} ^ {= - (2n) ^ {- 2 }} = \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {B_ {2n} (-4) ^ {n-1} (1-4 ^ n)} {n ^ 2 (2n)!} $$ con $B_j$ El$j$ - número de Bernoulli.
