Verificación de una relación que involucra polinomios de Bernoulli

Question

Agradecería ayuda, por favor, en cuanto a cómo comprobar esta relación de Kato "de Fermat Sueño" p.96.

Él dice: Por la definición de $B_n(x)$, la de Bernoulli polinomio, tenemos

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}u^n = \frac{u e^{xu}}{e^u - 1}$$

La definición de los polinomios de Bernoulli es, por $n \in \mathbb{N}$ es

$$B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}B_k x^{n - k}$$

Estoy tratando de

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}u^n = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}B_k x^{n - k} u^n$$

También para los números de Bernoulli no es,

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{n!} x^k = \frac{x}{e^x -1}$$

No sé si lo que estoy tratando es sobre la pista de la derecha. De cualquier manera, le agradecería la ayuda tirando todos juntos. Muchas gracias.

Answer 1

Recuerde que el método de generar funciones funciona con series formales de energía. Usando la serie de generación para los números de Bernoulli y la serie exponencial tenemos: $ \ frac {ue} {xu}} {e} u - 1} = \ frac {u} {e} {Xu} = \ left (\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {B_k} {k!} U ^ k \ Ahora la regla para la multiplicación de series de potencias da: \begin{align}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!} u^k\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}u^k\right) &= \sum_{n=0}^{\infty}\left( \sum_{k=0}^{n} \frac{B_k}{k!} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!} \right) u^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}n! \frac{B_k}{k!} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!} \right) u^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}B_k x^{n-k}}{n!} u^n\\ &=:\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}u^n \end {align} Y de esto se puede leer la fórmula para los polinomios de Bernoulli% ps

Answer 2

Voy a, básicamente, robar gammatester la respuesta y decir al revés, que creo que es mucho más intuitivo manera de ver las cosas.

Estás tratando de calcular $G(u) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n(x)}{n!}u^n$, que es exactamente la exponencial de la generación de la función de la secuencia de $\{B_0 (x), B_1 (x), B_2(x), \ldots\}$ (que puede, y debe, tratar $x$ como símbolo en lugar de una variable-que bien podría ser$\pi$, de hecho).

La secuencia se define por $B_n (x) = \sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k x^{n-k}$. Pero $c_n =\sum_{k=0}^n {n\choose k} a_k b_{n-k}$ es un tipo de producto de convolución de las secuencias que se comporta comporta muy bien con exponenciales funciones de generación. Específicamente, si $F$ $G$ son el correo.g.f.'s de $\{a_n\}$$\{b_n\}$, respectivamente, a continuación, $FG$ es la exponencial de la generación de la función de $\{c_n\}$.

Esto significa que podemos reducir nuestro problema a los dos mucho más simple de los problemas:

1. Encontrar la exponencial de la generación de la función de $\{x^n\}$.
2. Encontrar la exponencial de la generación de la función de $\{B_n\}$.

Pero el #1 es sencilla: $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} u^n = e^{xu}$. Y #2 ya ha sido dada a usted!-$\frac{u}{e^u-1}$ (asegúrese de que, en ambos casos, para recordar que $u$, no $x$, es la variable de nuestras funciones).

Así, un experimentado generatingfunctionologist puede ver en este problema y al instante leer que la respuesta es el producto de las dos funciones.