¿La derivada aritmética extendida es continua?

Question

Es la extendida aritmética derivada continua? Donde ampliamos la aritmética normal derivado con el cociente de la regla, lo $x':\mathbb Q\mapsto\mathbb Q$.

$$p'=1,~p\text{ is prime}\\(ab)'=a'b+ab'\\(-a)'=-a'\\\left(\frac ab\right)'=\frac{a'b-ab'}{b^2}$$

A partir de aquí podemos derivar que $0=0'=1'$.

Entonces pueden ver, por ejemplo, que la siguiente secuencia tiende a $0$:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2^n}\right)'=\lim_{n\to\infty}\frac{-n}{2^n}=0$$

A pesar de que no puedo manejar el caso general, si la aritmética derivada es continua en un barrio de cero.

Es continua en cualquier otro lugar?

Se dice que es continua en a $x$ $x\in\mathbb Q$ si

$$x'=\lim_{a\to x,~a\in\mathbb Q}a'$$

Answer 1

Sea$n$ un entero grande. Sea$p=p(n)$ un primo en el barrio de$\sqrt n2^n$. Por ejemplo, por Bertrand, sabemos que hay un$p$ principal entre$\sqrt n2^n$ y$2\sqrt n2^n$. Tenga en cuenta que$(2^n)/p\to0$ as$n\to\infty$. $$\left({2^n\over p}\right)'={pn2^{n-1}-2^n\over p^2}={n\over2}{2^n\over p}-{2^n\over p^2}\to\infty$$ as $ n \ a \ infty $, una violación bastante seria de la continuidad en cero.

Answer 2

Un $p$-ádico punto de vista da alguna buena intuición en el global de la discontinuidad.

La primera revisión de un primer $p$ y definir el restringido aritmética derivada como: $$ (p^n)'^{_p} = n p^{n-1}\\ un'^{_p} = 0 $$ Donde $a \in \mathbb{Z}, (a,p) = 1$, y luego se extiende a todos los de $\mathbb{Q}$ el uso de la regla de Leibniz para los productos y cocientes.

La aritmética normal derivada está dada entonces por $x \in \mathbb{Q}$ por: $$ x' = \sum_{p \in \mathbb{P}} x^{_p} $$ Ahora considere el $x \in \mathbb{Q}_p$ cualquier $x$ puede ser escrito como $x=p^n a$ donde $n \in \mathbb{Z}, a \in \mathbb{Z}_p$ donde $\mathbb{Z}_p$ indica el $p$-ádico enteros. Por la regla del producto, $x'^{_p} = (p^n a)'^{_p} = (p^n)'^{_p} a \ + p^n a'^{_p} = n p^{n-1}a = \frac{nx}{p}$.

Para cualquier secuencia $(x_i)$ convergentes a $x$, debemos tener, para todos los $i>N$ para algunos lo suficientemente grande $N$,$|x_i|_p = |x|_p$, y, por tanto, que el $x_i = p^n b$ para el mismo $n$$x$. A continuación, podemos mostrar la continuidad de este derivado.

$\forall \varepsilon > 0$ si tenemos $|x_i - x|_p < \delta$ $|(x_i)'^{_p}-x'^{_p}|_p=\left|\frac{nx_i}{p}-\frac{nx}{p}\right|_p=p \ |n|_p |x_i-x|_p$ $< p \ |n|_p \delta = \varepsilon$, para $\delta = \frac{\varepsilon}{p \ |n|_p}$.

Por lo tanto, la restricción de la aritmética derivada es continua sobre la $\mathbb{Q}_p$ todos los $p$, y como $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p$, es continuo en el $p$-ádico métrica en los racionales.

El problema viene cuando se intenta unrestrict la derivada. Tomando la normal aritmética derivada, tenemos una suma de restricción de los derivados que son cada continuada a lo largo de diferentes $\mathbb{Q}_p$. Una secuencia $(x_i)$ que se acerca en una métrica, no puede acercarse con respecto a otra, lo que conduce a las secuencias que convergen en el real métrica, pero no convergen sobre todas las $p$-ádico métrica, lo que implica que habrá siempre existen infinidad de secuencias que no son continuas en virtud de la asignación dada por la media aritmética de derivados, no importa cuán pequeño de un barrio que usted considere.