Resolver

Question

A primera vista esto parece casi trivial. Pero estoy teniendo serios problemas para encontrar una solución.

Consideremos la relación

ps

para con $$a_n=1+\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}a_i$. ¿Puede encontrar una expresión para$n\in\mathbb{N}$ como una función de$a_0=0$?

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La secuencia va como$a_n$

He intentado encontrar soluciones de la forma$n$ sin éxito. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

tenemos

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

ps

Por lo tanto para$$(n+1)a_{n+1}-na_n=a_n+1$,

ps

Answer 2

Intentemos demostrar por inducción que$a_n=H_n=\sum_{k=1}^n 1/k$ es el$n$ th número armónico. $n=0$ Funciona claramente. Supongamos ahora que$a_i=H_i$ para$i<n$. Entonces tendríamos$$ \sum_{i=0}^{n-1} a_i = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=1}^i \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \sum_{i=k}^{n-1} 1 = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{n-k}{k} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{n-k}{k} = nH_{n-1} - (n-1), $ $ so$$ a_{n} = 1 + \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} a_i = 1 + H_{n-1} - 1 + \frac{1}{n} = H_n, $ $ según sea necesario.