Demostrar la condición de Lipschitz tiene en cada compacto

Question

La proposición. Deje $f : \mathbb R^n \to \mathbb R$ ser una función con la siguiente propiedad: cada punto en $\mathbb R^n$ tiene un barrio donde la $f$ es de Lipschitz. Entonces es Lipschitz en cada cerrados y acotados subconjunto de $\mathbb R^n$.

Creo que es bastante fácil para probar esto directamente: vamos a $K \subset \mathbb R^n$ ser cerrado y acotado. Definir $K'$ como un conjunto compacto que es el mínimo conjunto convexo que contiene a $K$. Por hipótesis, para cada $x \in K'$ existe un abierto vecindario $\Omega_x$ tal que $\forall y,z \in \Omega_x$ la condición de Lipschitz se tiene: $$|f(y) - f(z)| \leq L_x|y-z| $$ para algunos $L_x > 0$ dependiendo $x$. La familia $$\mathcal F \doteq \{\Omega_x\ |\ x \in K' \} $$ es una cubierta abierta de a $K'$; desde $K'$ es compacto, se puede seleccionar un número finito de puntos de $x_1,\dots,x_k$ tal que $$K' \subseteq \bigcup_{j=1}^k \Omega_{x_k} $$ En cada uno de estos barrios, $f$ será de Lipschitz con constante $L_{x_k}$; pero si $f$ es de Lipschitz con constante de decir $L$, entonces es Lipschitz con constante $L'$, para todos los $L' \geq L$. Esto significa que podemos definir $$L \doteq \max_k \{L_{x_k}\} $$ y $f$ será de Lipschitz con constante$L$$K'$, por lo tanto, en $K$.

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Sin embargo, me preguntaba si este resultado podría ser probada por la contradicción. Supongamos $f$ no es Lipschitz en $K$. Entonces $$\forall L > 0\quad \exists x,y \in K \qquad |f(x)- f(y)| > L|x-y| $$ Deje $\{L_k\}$ ser una secuencia de estrictamente número real positivo. A continuación, para todos los $k$ podemos encontrar $x_k,y_k \in K$ tal que $|f(x_k) - f(y_k)| > L_k |x_k - y_k|$.

A partir de aquí, estoy atascado. No estoy seguro de si debo ser llegar a una negación de la compacidad (posiblemente a través de la compacidad secuencial, ya que estamos tratando con secuencias) de $K$, o de la "localmente Lipschitz" condición en la hipótesis. Alguna sugerencia?

Answer 1

No es suficiente para cubrir $K$ con abrir las bolas.

Para entender esto, decir $n=1$$K=[0,1]\cup [2,3]$. A continuación, el máximo de las constantes de Lipschitz $L_{[0,1]}$ $L_{[2,3]}$ no trabajan necesariamente para $K$, ya que el $f$ puede tener un enorme derivada en el intervalo de $[1,2]$.

Es el fin de hacerse cargo de este problema, primero debe definir $$ C=\mathrm{convexo\,casco\,\,\,\,} K=\{t_1x_1+\cdots+t_{n+1}x_{n+1}:t_i\ge 0,\,\sum t_i=1,\, x_i\in K, \forall i=1,n+1\}. $$ De hecho, $C$ está definida de forma única.

Observar que $C$ es también compacto, y, a continuación, cubierta $C$ con un número finito de abiertos bolas.

Ahora si $x_1,x_2\in K\subset C$, luego $$ [x_1,x_2]=\{(1-t)x_1+tx_2: t\in [0,1]\}\subconjunto de C, $$ y si $B_1,\ldots,B_k$ la pelota que cubren $C$, entonces no existe $y_1,\ldots,y_m\in [x_1,x_2]$, de tal manera que $$ y_1,\ldots,y_m\in[x_1,x_2], $$ y $$ [x_1,y_1]\subconjunto B_{i_1}, [y_1,y_2]\subconjunto B_{i_2}, \ldots, [y_m,x_2]\subconjunto B_{i_{m+1}}, $$ y $$ |f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x_1)-f(y_1)|+|f(y_1)-f(y_2)|+\cdots+|f(y_m)-f(x_2)| \le L(|x_1-y_1|+|y_1-y_2|+\cdots+|y_m-x_2|)=L|x_1-x_2|, $$ desde $x_1,y_1,\ldots,y_m,x_2$ se encuentran en una línea en ese orden.

Answer 2

La prueba por contradicción: voy a ser breve (preguntar si usted tiene preguntas). Primera nota de que el local de la condición de Lipschitz implica $f$ es continua en todas partes.

Si el resultado de la falla por alguna compacto $K,$ a continuación, para cada $m\in \mathbb N,$ existe $x_m,y_m\in K$ tal que

$$\tag 1|f(y_m)- f(x_m)| > m|y_m-x_m|.$$

Debido a $K$ es compacto, existe una larga $m_k$ tanto $y_{m_k},x_{m_k}$ convergen para algunos $x,y\in K$ respectivamente.

Si $y\ne x,$$|y-x|>0.$, por tanto, de un gran $k$ tenemos $|y_{m_k}-x_{m_k}| > |y-x|/2.$, Lo que para un gran $k$ vemos

$$|f(y_{m_k})-f(x_{m_k})| > m_k|y_{m_k}-x_{m_k}|> m_k|y-x|/2\to \infty.$$

Eso es una contradicción, porque $f$ es continua en a $K,$ por lo tanto es limitado en $K.$ por lo Tanto debemos tener $y=x.$

Pero si $y=x$, podemos invocar el local de la condición de Lipschitz en $x$ a ver que $(1)$ no puede suceder, contradicción. Esto demuestra el resultado.

Añadido posterior: tenga en cuenta que este resultado no depende de la convexidad en todo: Si $X,Y$ son arbitrarias métrica espacios, y $f:X\to Y$ es localmente Lipschitz, a continuación, $f$ es de Lipschitz en cada subconjunto compacto de $X.$ por encima de La prueba en el trabajo casi palabra por palabra en este contexto.

Answer 3

Sugerencia: creo que es más fácil trabajar con la definición de Abra las tapas de $K \subset \mathbb{R^n}$ en vez de secuencias. Desde $K$ es compacto, se puede encontrar para cualquier revestimiento de supsets abierto un subconjunto finito de ese % de cubierta $\{A_1,\dots,A_k \}$que ya cubre el $K $.
Elegir $L:=max\{L_1,\dots,L_k\}$, donde $L_i$ es la constante de Lipschitz para $f|A_i$, $i=1,\dots,k$.
Utilice este $L$ como la constante de Lipschitz para $f|K$.