Cómo aplicar el teorema de convergencia dominada a una secuencia de funciones

Question

Deje $(X,\Sigma, u)$ ser una medida en el espacio. Supongamos $(f_n)$ es una secuencia de funciones medibles $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge $u$ en casi todas partes y $|f(x)|\leq g$ algunos $u$-summable función de $g$.

Estoy tratando de mostrar que $\int_X f du = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_X f_n du$.

Estoy bastante seguro de que debe usar el Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada. Sabemos que $\int_X |f| du \leq \int_X g du$ $f$ es medible como es el $u$-casi en todas partes pointwise límite de funciones medibles. Por lo tanto $f$ $u$- summable.

Quiero considerar la secuencia de $s_n= \sum_{k = 1}^{n} f_n $ desde entonces $s_n\rightarrow f$. Ahora si podemos demostrar que $|s_n|<h$ algunos $u$-summable función de $h$, entonces el resultado va a seguir inmediata del teorema de convergencia dominada.

Sin embargo, estoy luchando para mostrar que $|s_n|$ puede ser dominado (por supuesto, las cosas serían mucho más fáciles si $f_n$ fueron positivos). ¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

No se puede, no es verdad.

Tome su ejemplo favorito de una sucesión convergente pointwise pero no en $L^1$. Por ejemplo, tomemos $X = [0,1]$ con medida de Lebesgue; a continuación, la secuencia $n 1_{[0,1/n]}$ va a hacer. Queremos que esto se $s_n$. Trabajando hacia atrás, nos vamos a $f_n = n 1_{[0,1/n]} - (n-1) 1_{[0, 1/(n-1)]}$ ( $f_1 = 1$ ). Luego tenemos a $\sum_{k=1}^\infty f_n(x) = 0$ en casi todas partes, y $f=0$ es, sin duda dominado por un summable (es decir, integrable) en función, con la $\int f = 0$. Por otro lado, $\int f_1 = 1$ $\int f_k = 0$ todos los $k \ge 2$, lo $\sum_{k=1}^\infty \int f_k = 1$.

Hablando en general, de tener control sobre la función de limitación $f$ nunca es suficiente en estas situaciones (y la declaración de "$f$ está dominado por un summable función" es sospechosa porque es lo mismo que decir "$f$ es summable"). Usted tiene que tener algún tipo de control uniforme sobre toda la aproximación de las funciones de $f_n$.

Una típica condición bajo la cual esta sí es una $\sum_{k=1}^\infty \int |f_n| < \infty$ o $\int \sum_{k=1}^\infty |f_n| < \infty$ (puede utilizar la monotonía de convergencia o Tonelli del teorema de ver estas son equivalentes). En este caso, usted puede utilizar cualquiera de los dominados de convergencia (con preponderancia de la función $\sum_{k=1}^\infty |f_n|$) o el teorema de Fubini a la conclusión de $\sum_{k=1}^\infty \int f_n = \int \sum_{k=1}^\infty f_n$.

Answer 2

Esto está mal en general. Aquí es un contraejemplo. Se llevará a $(X,\Sigma,\mu)=(\mathbb{R}, B_{\mathbb{R}},\lambda)$, y mi sequeence de funciones se compone de funciones constantes: $f_0(x)\equiv1$ y $n\ge 1$, $f_n(x)\equiv \frac{1}{n+1}-\frac1n$.

La serie $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ converge cuando todos a la función constante $f(x)\equiv0$, que es claramente integrable (uno puede tomar $g=f=0$). Pero claramente el % de igualdad $\sum_{n=0}^\infty \int_{\mathbb{R}}f_nd\lambda=0$no tiene sentido.

Así, hay una falta condición supletoria para la igualdad propuesta celebrar.