Comprender la suma de las series infinitas definiendo una nueva función

Question

Así que hemos estado trabajando en el tema de las series infinitas en la uni. Hemos aprendido lo básico, luego los criterios de convergencia, y cómo conseguir la expansión a medida de algunas funciones básicas como $e^x$ y $ \ln (x+1)$ .

Después de eso nos ocupamos de encontrar la suma de una serie específica. Si tuvieras una serie $ \sum {a_n}$ tomarías una parte de ella y la pondrías como $x$ y luego definir una función de esa manera. Por ejemplo:

Para $$ \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$$ la función definida fue (aparentemente definida de la nada) $f:[-1,1] \rightarrow\mathbb {R}$ $$f(x)= \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {x^{n+1}}{n(n+1)}$$ y notamos que la segunda derivada de la función dada se veía bien. Luego aplicamos algunas identidades integrales básicas, y básicamente a partir de ahí era comprensible. $ \\ $

El siguiente ejemplo fue $$ \sum_ {n=0}^{ \infty }{ \frac {(-1)^n \cdot n}{(2n+1)!}}$$ y de nuevo el comienzo se veía así: definimos una función $f: \mathbb {R} \rightarrow\mathbb {R}$ como $$f(x)= \sum_ {n=0}^{ \infty }{ \frac {(-1)^n \cdot n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n+1}}$$ y luego, a través de la manipulación de números totalmente aleatorios, logramos $f(1) = ( \cos {1} - \sin {1})/2$ y luego, por supuesto, es comprensible ya que las expansiones de Taylor de $ \sin $ y $ \cos $ están disponibles para nosotros incluso durante las pruebas. $ \\ $

Ahora, me está costando mucho trabajo averiguar cómo funciona esto, estos ejemplos fueron los únicos que se nos mostraron, y he intentado sin éxito resolver los problemas que nos dejaron para practicar este método. ¿Cómo se le ocurre una función como esa? He mirado estos dos ejemplos y los entiendo bastante bien, he tratado de reconstruirlos por mi cuenta, pero sólo he tenido éxito porque recuerdo específicamente qué función definir. $ \\ $ Agradecería que alguien me ayudara a definir una función en cualquiera de los siguientes problemas, estaría muy agradecido. Espero que esta pregunta no quede en suspenso porque no he dicho lo que he intentado, porque lo que me falta es el comienzo de la resolución del problema. Si supiera aunque sea remotamente qué función tomar sería realmente útil.

$a)$ $ \sum_ {n=2}^{ \infty }{ \frac {(-1)^n}{n^2+n-2}}$

$b)$ $ \sum_ {n=0}^{ \infty }{ \frac {(-1)^{n+1} \cdot (2n+1)^3}{(2n+1)!}}$

$c)$ $ \sum_ {n=0}^{ \infty }{ \frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{2^n}}$

Answer 1

Si te dicen que multipliques dos matrices dadas simplemente lo haces, y si te dicen que diferencies una expresión complicada $\Psi(x)$ que contiene $\exp$ , $\log$ , $\sqrt{\cdot}$ etc., con respecto a $x$ sólo hazlo. Esto se debe a que en estos casos se ha aprendido un algoritmo que produce el resultado en un número finito de pasos.

Ahora para una serie $s:=\sum_{n=0}^\infty a_n$ donde el $a_n$ se definen como funciones esperanzadamente simples de $n$ hay no dicho algoritmo. En este contexto se trata de un idea radicalmente nueva para incrustar el problema irresoluble dado en un entorno más amplio considerando la función $$s(x):=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$ en su lugar, y dejar que $x:=1$ al final. En este ámbito se dispone de nuevos hechos y son posibles nuevas operaciones. Por ejemplo, $$\sum_{n=0}^\infty x^n={1\over1-x}\quad(|x|<1),\qquad \sum_{k=0}^\infty{x^n\over n!}=e^x\quad(x\in{\mathbb C})\ ,$$ etcétera, y tales series pueden ser diferenciadas o integradas a término. Todo esto no te proporciona algoritmos y esquemas de solución claros, pero te abre un amplio campo en el que puedes probar trucos y ganar experiencia. Buena suerte.

Una pista: En el ejemplo c) debes fijarte en la tercera derivada de la función $$f(x):=\sum_{n=0}^\infty{x^{n+3}\over 2^n}=8x^3\sum_{n=0}^\infty\left({x\over2}\right)^n\ .$$

Answer 2

$$ \begin{array} \text{a)} \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+n-2}= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+2)(n-1)}\to \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+2)(n-1)} \\ \text{b)} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot (2n+1)^3}{(2n+1)!}\to x^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n-1}\cdot (2n+1)^3}{(2n+1)!}\\ \text{c)} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2^n}\to \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)(n+3)x^n \end{array} $$ Podría detallar los procesos utilizados para cada uno, sin embargo por ahora sólo estoy dando las funciones generadoras que utilizaría para resolver cada uno. Diré que al trabajarlos, utilizaron las técnicas de los ejemplos, pero de maneras a veces menos obvias.

Answer 3

Para las funciones sugeridas en el problema propuesto considere las siguientes formas funcionales que pueden ser manipuladas en los resultados deseados.

$a)$ $$f(x) = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{x^n}{n^2+n-2}}$$ o $$g(x) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n+1/2}}{n^2 + n -2}$$

Para $f(x)$ es bastante evidente que satisface la ecuación diferencial $$ x^2 \, f'' + 2 \, x \, f' - 2 \, f = \frac{x^2}{1-x},$$ con $f(0) = 0$ y $f'(0)=0$ conduce a una solución de la forma $$\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{x^n}{n^2+n-2}} = \frac{x}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3 \, x} + \frac{1-x^3}{3 \, x^2} \, \ln(1-x).$$ Para el caso de $x=-1$ entonces $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+n-2} = \frac{12 \, \ln(2) - 5}{18}$$ Para el caso de $x = 1/2$ entonces $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \, (n^2+n-2)} = \frac{16 - 21 \, \ln(2)}{18}.$$

Se puede obtener una ecuación diferencial similar para $g(x)$ .

$b)$ $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} \, x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = - \sin(x)$$

Para este caso considere el operador diferencial $\delta = x D$ para lo cual $$\delta^3 f = - \delta^3 (\sin(x))$$ que lleva a la serie $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1} \, (2n+1)^3 \, x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = x(1-x^2) \, \cos(x) - 3 \, x^2 \, \sin(x).$$ Considere cuando $x=1$ para lo cual $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} \, (2n+1)^2 }{(2n)!}} = 3 \, \sin(1)$$ y si $x=\pi$ entonces $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n} \, (2n+1)^2 \, \pi^{2n}}{(2n)!}} = 1-\pi^2.$$ Se pueden obtener otros valores variando el proceso.

$c)$ $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+3} = \frac{x^3}{1-x}.$$ Diferencie esta función tres veces para obtener $$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)(n+3) \, x^n = \frac{6}{(1-x)^4}$$ tal que $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2^{n}} = 96.$$

Se pueden elegir métodos y funciones de partida similares para llegar al mismo resultado final, pero pueden variar en el proceso.