Producto de senos y sumas de cuadrados de las tangentes

Question

No es una buena fórmula para que los productos de los cosenos, encuentra multiplicando por los productos complementarios de los senos y el uso de la doble ángulo sine fórmula:$$\prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)=\frac{1}{2^n}$$

Primera pregunta: ¿hay una fórmula para los productos de los senos de la forma $\prod_{k=1}^n \sin\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)$? O cualquier fórmula para los productos de los senos?

Segunda pregunta, hace poco vi en otro post de aquí, que no hay una fórmula para la suma de los cuadrados de las tangentes: $$\sum_{k=1}^n \tan^2\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)=2n^2+n$$ ¿Cómo podría usted probar esta fórmula? A partir de este post aquí, que el uso de De Moivre del Teorema y de la búsqueda de raíces y de las fórmulas de Vieta, pero que parece ineficiente cuando se trata con el general $n$ en la fórmula de arriba.

Answer 1

Definamos $\theta=\frac{\pi}{2n+1}$$~\xi_k=\tan(k\theta)$$-n\le k\le n$. Claramente $$\xi_k=\frac{1}{i}\frac{e^{2ik\theta}-1}{e^{2ik\theta}+1}\iff\frac{1+ i\xi_k}{1-i\xi_k}=e^{2ik\theta}$$ y desde $e^{i2(2n+1)\theta}=1$ llegamos a la conclusión de que $\{\xi_k:-n\le k\le n\}$ son ceros del polinomio $P(X)$ definido por $P(X)=(X+i)^{2n+1}+(X-i)^{2n+1}$, pero $\deg P=2n+1$ y el coeficiente de $X^{2n+1}$$P$$2$. Así $$P(X)=2\prod_{k=-n}^n(X-\xi_k)=2X \prod_{k=1}^n(X^2-\xi_k^2)$$ debido a $\xi_{-k}=-\xi_k$. En el otro lado $$\eqalign{P(X)&=\sum_{\ell=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{\ell}X^\ell i^{2n+1-\ell}(1-(-1)^{\ell})\cr Y=2X\sum_{\ell=0}^{n}\binom{2n+1}{2\ell+1}X^{2\ell} (-1)^{n-\ell}\cr }$$ De ello se sigue que $$\prod_{k=1}^n(X^2-\xi_k^2)= \sum_{\ell=0}^{n}\binom{2n+1}{2\ell+1}X^{2\ell} (-1)^{n-\ell}$$ O $$\prod_{k=1}^n(t-\xi_k^2)= \sum_{\ell=0}^{n}\binom{2n+1}{2\ell+1}t^{\ell} (-1)^{n-\ell}\etiqueta{1}$$ Ahora la comparación de los coeficientes de $t^{n-1}$ a ambos lados obtenemos $$\sum_{k=1}^n\xi_k^2=\binom{2n+1}{2n-1}=\binom{2n+1}{2}=n(2n+1)$$ o $$\sum_{k=1}^n\tan^2\frac{\pi k}{2n+1}=n(2n+1)\tag{2}$$ De nuevo, la comparación de los términos constantes en $(1)$ tenemos $$\prod_{k=1}^n\xi_k^2=\binom{2n+1}{1}=2n+1$$ y desde $\prod_{k=1}^n\xi_k>0$ tenemos $$\prod_{k=1}^n\tan\frac{\pi k}{2n+1}=\sqrt{2n+1}\tag{3}$$ Esto implica también que $$\prod_{k=1}^n\sin\frac{\pi k}{2n+1}= \prod_{k=1}^n\tan\frac{\pi k}{2n+1}\prod_{k=1}^n\cos\frac{\pi k}{2n+1}= \frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\etiqueta{4}$$ y hemos terminado.$\qquad\square$