Esta pregunta salió de este otro:
¿Hay un valor explícito de esta serie?
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n}}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{H_{n,-\frac{1}{2}}}$$
Como alguien señaló en comentarios a la otra pregunta, este valor es un poco menor que $3.167830$ y no lejos de $\frac{63}{20}+\frac{7\sqrt{3}}{680}$.
¿Podemos ir más lejos en esto? ¿Podemos llegar a un valor exacto o una aproximación mejor?