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Valor explícito $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n}}\right)$

Esta pregunta salió de este otro:

¿Hay un valor explícito de esta serie?

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n}}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{H_{n,-\frac{1}{2}}}$$

Como alguien señaló en comentarios a la otra pregunta, este valor es un poco menor que $3.167830$ y no lejos de $\frac{63}{20}+\frac{7\sqrt{3}}{680}$.

¿Podemos ir más lejos en esto? ¿Podemos llegar a un valor exacto o una aproximación mejor?

4voto

Claude Leibovici Puntos 54392

Sólo computa el mejor valor que obtuve es $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{H_{n,-\frac{1}{2}}}=3.16782938772351480$$ which can be rationalized as $$\frac{5908}{1865}\qquad \frac{7720}{2437}\qquad \frac{15893}{5017}\qquad\frac{87638}{27665}\qquad \frac{247021}{77978}\qquad\frac{828701}{261599}\qquad\frac{3067783}{968418}\qquad \frac{6964267}{2198435}$% $#% 3.16782938772353970 de #%.

Calculadoras simbólicas inversas no se encontró nada muy cerca de este número.

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