Calcular la suma de S.

Question

Considerar $n\in\mathbb{N}.$ encontrar la suma de: $$S=\left(\dfrac{C_n^0}{1} \right)^2+\left(\dfrac{C_n^1}{2} \right)^2+\cdots+\left( \dfrac{C_n^n}{n+1}\right)^2$ $

No sé cómo solucionarlo, no tengo ideas, así que estoy muy feliz de escucharte. Muchas gracias.

Answer 1

Esquema: $$ \frac{{n \elegir k}}{k+1} =\frac{n!}{k! (n-k)!(k+1)}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{1}{n+1}\cdot {n+1 \elegir k+1} $$ así $$ \sum_{k=0}^n \Big(\frac{{n \elegir k}}{k+1}\Big)^2 = \Big(\frac{1}{n+1}\Big)^2 \sum_{k=0}^n {n+1 \elegir k+1}^2 $$

Ahora bien, es sabido que $$ \sum_{i=0}^{m} {m \elegir l}^2 = {2m \elegir m} $$ (usted puede hacer esto de manera inductiva, ver aquí). A partir de aquí... se puede terminar?