El teorema de reciprocidad de Frobenius

Question

El clásico de Frobenius reciprocidad teorema afirma lo siguiente:

Si $W$ es una representación de $H$, e $U$ una representación de $G$, $$(\chi_{Ind W},\chi_{U})_{G}=(\chi_{W},\chi_{Res U})_{H}.$$

La prueba en el libro de texto estándar (Fulton&Harris, Dummit&Foote,etc) es fácil de entender. Lo que me desconcertó es este teorema de Frobenius que aparece en Raoul Bott del papel:

"La proposición 2.1. Deje $W$ $G$- módulo, vamos a $M$ $H$- módulo y denotan por $i^{*}W$, la restricción de $W$$H$. A continuación, $$Hom_{G}(W,\Gamma MG)\cong Hom_{H}(i^{*}W, M).$$

Aquí el $\Gamma MG$ se define como la sección del paquete de $G\times_{H} M\rightarrow G/H$, $G\times_{H}M$ define a ser $G\times M/(g,m)\approx (gh,h^{-1}m)$.

Bott reivindicada en su papel (Homogéneo operadores diferenciales) que este isomorfismo es bastante canoical, sin embargo, no sólo que yo no podía entender que su prueba, pero también no podía ver cómo el isomorfismo es nada pero canónica. Debe haber algún tipo de relación entre este y el clásico teorema, pero yo no podía llegar. Después de varias horas de meditar decidí preguntar aquí, como el asunto es de carácter puramente técnico.

Answer 1

Secciones del paquete son los mismos que los mapas de $\phi:G \to M$ tal que $\phi(gh) = h^{-1}\phi(g)$ todos los $g \in G, h \in H$. Esta es una manera de definir la inducción de la $M$ $H$ $G$en el contexto de la no-necesariamente grupos finitos.

Ahora el isomorfismo de preguntar acerca de es la contigüidad $$Hom_G(W,Ind_H^G M) \cong Hom_H(W,M).$$ El mapa es fácil de definir: mapa de $Ind_H^G M \to M$ a través de la evaluación en $1 \in G$ (en Bott de términos geométricos, el valor de la sección sobre $g =1$) --- este es $H$-equivariant, e induce un mapa correspondiente de Hom espacios. Para comprobarlo es un isomorfismo no es mucho más difícil. (Si las secciones/mapas se entiende por ser suave, entonces usted tendrá que usar el hecho de que $W$ es un suave representación de $G$.)

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A un lado, usted no debe ser sorprendido por la aparición del término "contigüidad" aquí; eso es lo que Bott la leche de fórmula, y todos los hechos básicos de carácter de la teoría de grupos finitos son manifestaciones de hechos fundamentales acerca de las categorías de representaciones. Además, es más fácil para muchas personas (incluyéndome a mí!) para probar la categoría de los hechos primero y luego deducir el carácter de la teoría de los hechos directamente, ya que hay más estructura para trabajar con.