Construir explícitamente un campo con 729 elementos

Question

Me gustaría construir un campo con 729 elementos. Sé que $729 = 3^6$, y que tengo que encontrar una irreductible monic polinomio de grado 6 $GF(3)$. Elegí el polinomio $x^6 + 2x^2 + 1$, lo que he comprobado (computacionalmente) que es irreducible sobre este campo. Sin embargo, no sé cómo proceder con la construcción. Cualquier sugerencias?

Supongamos que no hubiera encontrado este polinomio de cómputo. Hay un método algebraico de la búsqueda de esos polinomios cuando el grado es bastante grande? O, al menos, las pruebas para la irreductibilidad en tales casos?

Answer 1

Sugerencia: Si $F$ es un campo entonces $F[x]/\langle{p(x)\rangle}$ es un campo si y solamente si $p(x)$ $F$ es un polinomio irreducible.

Answer 2

Como se indicó anteriormente $GF_{729} \cong \Bbb Z_3[x]/\langle x^6 + 2x^2 + 1\rangle$. De forma aditiva, este es el mismo que el espacio vectorial $(\Bbb Z_3)^6$ y de no ser por la necesidad de multiplicar, podríamos dejar el asunto ahí. La multiplicación por la multiplicación de cosets de polinomios es un poco difícil de manejar, por lo que muchos prefieren para encontrar un "elemento primitivo" (un generador de la cíclico grupo (de orden $728$) de los no-cero de los elementos). Aunque el método habitual es el "ensayo y error", esto no es tan malo como suena, hay $288$ a los generadores que se encuentran. Encontrar un elemento primitivo $\alpha$ nos permite construir un "logaritmo discreto de la tabla", convirtiendo a los productos en $GF_{729}$ a las cantidades en $\Bbb Z_{728}$.

Desde $728 = 2^3\cdot 7 \cdot 13$ es suficiente para comprobar si $\alpha^k \equiv 1 $(mod $729$)$k = 56,104,364$.

La comprobación de un polinomio es irreducible de grado $n$ $\Bbb Z_p[x]$ puede ser computacionalmente costoso, algoritmos de hacer existe para la generación de ellos, pero ellos no son "simples".