Demostrar que $(x^2-x^3)(x^4-x) = \sqrt{5}$, donde $x= \cos(2\pi/5)+i\sin(2\pi/5)$

Question

Prueba $(x^2-x^3)(x^4-x) = \sqrt{5}$ si $x= \cos(2\pi/5)+i\sin(2\pi/5)$.

Lo he probado mediante la sustitución de $x = \exp(2i\pi/5)$ pero es que complicado.

Answer 1

Sustitución de la anterior secuencia de toques con una solución ahora. El viejo responderle está rayado.

Sabemos que $0=x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$. Como $x-1\neq0$ esto implica que $$1+x+x^2+x^3+x^4=0.\qquad(*)$$ De $x^5=1$ podemos también deducir que $x^4=x^{-1}$. Esto permite una reescritura: $$ S=(x^2-x^3)(x^4-x)=(x^2-x^3)(x^{-1}-x)=(x-x^2)(1-x^2)=x-x^2-x^3+x^4. $$

Vamos a la plaza este. Tenemos $$ \begin{aligned} S^2&=(x^2+x^4+x^6+x^8)\\ &+2(-x^3-x^4+x^5+x^5-x^6-x^7).\qquad(**) \end{aligned} $$

Debido a $x^8=x^5\cdot x^3=x^3$$x^6=x$, el primer término de arriba es $$ (x^2+x^4+x^6+x^8)=x^2+x^4+x+x^3=-1, $$ por la ecuación de $(*)$. El último término en paréntesis es del mismo modo simplificado para $$ (-x^3-x^4+x^5+x^5-x^6-x^7)=2-(x^3+x^4+x+x^2)=3. $$ Conectar los dos a $(**)$ da $$ S^2=5. $$ Así que sabemos que $S=\pm\sqrt5$, y el resto de la tarea es determinar el signo. A partir de una imagen del círculo unitario en el plano complejo, vemos que todos los términos en la r.h.s. de $$ S=x-x^2-x^3+x^4 $$ han positivo de piezas reales. Por lo tanto,$S=\sqrt5$.

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No trigonometría es necesario. Sólo $(*)$ y propiedades de las raíces de la unidad. Estudio de Gauss sumas de las generalizaciones de los números primos $>5$.

Answer 2

Nota $(x^2-x^3)(x^4-x)=-x^7+x^6+x^4-x^3$. La clave es que $x$ es una raíz de la unidad, particularmente uno que da $x^5=1$. Esto quiere decir $x^6=x$ y $x^7=x^2$ y $x^4=x^*$ y $x^3=(x^2)^*$ que significa que nuestros componentes imaginarios caen desde $z+z^*=2a$ $z=a+bi$. Cuadratura de ambos lados para eliminar el radical reduce el problema muy bien.

disculpen los errores que yo he publicado esto desde mi teléfono.

Answer 3

Como $x=\cos\frac{2\pi}5+i\sin\frac{2\pi}5$

El uso de la fórmula de Moivre para enteros positivos $n$

$$x^n=\left(\cos\frac{2\pi}5+i\sin\frac{2\pi}5\right)^n=\cos\frac{2n\pi}5+i\sin \frac{2n\pi}5$$

$$\implies x^5=\cos2\pi=1\text{ and }x^{-n}=\frac1{x^n}=\frac1{\cos\frac{2n\pi}5+i\sin \frac{2n\pi}5}=\cos\frac{2n\pi}5-i\sin \frac{2n\pi}5$$

$$\implies x^n+x^{-n}=2\cos\frac{2n\pi}5$$

Como $x^5=1,x^6=x,x^4=x^{-1},x^7=x^2,x^3=x^{-2}$

$$\implies (x^2-x^3)(x^4-x)=x^6+x^4-x^7-x^3=x+\frac1x-\left(x^2+\frac1{x^2}\right)$$ $$\implies (x^2-x^3)(x^4-x)=2\cos\frac{2\pi}5-2\cos\frac{4\pi}5=2\cos\frac{2\pi}5-2\cos(\pi-\frac\pi5)=2\cos\frac{2\pi}5+2\cos\frac\pi5>0\ \ \ \ (0)$$

Ahora si $y^5=1$

El uso de $n$th raíz de la unidad, $\displaystyle y=\cos\frac{2r\pi}5+i\sin \frac{2r\pi}5$ donde $r=0,1,2,3,4$

$r=0\implies y=1\implies$ las raíces de $\displaystyle \frac{y^5-1}{y-1}=0\iff y^4+y^3+y^2+y+1=0\ \ \ \ (1)$ $\cos\frac{2r\pi}5+i\sin \frac{2r\pi}5$ donde $r=1,2,3,4$

Observe que la última ecuación es la Recíproca de la Ecuación del Primer tipo como este

Así, dividir ambos lados por $y^2,$ $$y^2+y+1+\frac1y+\frac1{y^2}=0 \implies \left(y+\frac1y\right)^2+\left(y+\frac1y\right)-1=0\ \ \ \ (2)$$

Tenemos $y+\frac1y=2\cos\frac{2r\pi}5$

y como $\cos\frac{2(5-r)\pi}5=\cos(2\pi-\frac{2r\pi}5)=\cos \frac{2r\pi}5$

las raíces de $(2)$ $2\cos\frac{8\pi}5=\cos\frac{2\pi}5>0$ $\cos\frac{6\pi}5=\cos(2\pi-\frac{2r\pi}5)=\cos\frac{4\pi}5=-\cos\frac\pi5<0$

Ahora, $2\cos\frac{2r\pi}5=y+\frac1y=\frac{-1\pm\sqrt5}2$ donde $r=(1$ o $5-1=4)$ $r=(2$ o $5-2=3)$

Por eso, el uso de las fórmulas de Vieta, $2\cos\frac{2\pi}5+\left(-2\cos\frac\pi5\right)=-1$ $2\cos\frac{2\pi}5\left(-2\cos\frac\pi5\right)=-1$

$$\implies 2\cos\frac{2\pi}5+2\cos\frac\pi5=\sqrt{\left(2\cos\frac{2\pi}5-2\cos\frac\pi5\right)^2+4\cdot2\cos\frac{2\pi}5\cdot2\cos\frac\pi5}=\sqrt{(-1)^2+4\cdot1}=\sqrt5$$

Answer 4

Como ya se ha mencionado, tenemos

$$0=x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$

$$|x|=|e^{2\pi i/5}|=1\implies x^2=x^{-3}\;,\;x=x^{-4}\;,\;x^{-k}=\overline{x^k}\implies$$

$$(x^2-x^3)^2(x^4-x)^2=(x^2-x^{-2})^2(x^{-1}-x)^2=(x-x^{-1})^4(x+x^{-1})^2=$$

$$=\left(2i\sin\frac{2\pi}5\right)^4\left(2\cos\frac{2\pi}5\right)^2=64\sin^4\frac{2\pi}5\cos^2\frac{2\pi}5=$$

$$=64\left(\frac14\sqrt{10+2\sqrt5}\right)^4\left(\frac14\left(-1+\sqrt5\right)\right)^2=5$$

Answer 5

$x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Dividir por $x^2$ y sustituir $z=x+x^{-1}$, dando por resultado $z^2+z-1=0$. Esto tiene dos soluciones: $z_1=2cos72^\circ=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ y $z_2=2cos144^\circ=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$.