¿Cómo evaluar$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2-n}$

Question

Cómo vas sobre evaluación: $$\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2-n}

Partí hasta $$\sum_{n=2}^\infty\left[(-1)^n\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\right]

pero no estoy seguro de qué hacer desde aquí. Si el término de $(-1)^n$ fuera allí entonces sería una simple serie telescópica pero el bit alterno causa problemas.

Answer 1

$$\begin{align} & \sum_{n=2}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) \\[10pt] = {} & \underbrace{\left(1-\frac 1 2 \right) - \left( \frac 1 2\right.}_{=\,0} - \left.\frac 1 3 \right) + \left( \frac 1 3 - \frac 1 4 \right) - \left( \frac 1 4 - \frac 1 5\right) + \left( \frac 1 5 - \frac 1 6 \right) - \cdots \\[10pt] = {} & \frac 2 3 - \frac 2 4 + \frac 2 5 - \frac 2 6 + \cdots \\[10pt] = {} & 2\int_0^1 \left( u^2 - u^3 + u^4 - u^5 + \cdots \right) \,du = 2\int_0^1 \frac{u^2}{1+u} \, du \\[10pt] = {} & 2 \int_0^1 \left( u - 1 + \frac 1 {u+1} \right)\,du = \text{etc.} \end{align}$$

Answer 2

$$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2-n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}$ $ y si definimos $A_N$: %#% $ de #% tenemos:$$ A_N = \sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{n+1} pero desde $$\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=0}^{N}(-1)^n\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=A_N+A_{N+1}-1,A_N\to \log 2$, se deduce que:$N\to +\infty