Entender la métrica de la distancia de un espacio 3D de curvatura positiva uniforme.

Question

Estoy leyendo una cosmología de libros de texto, y la distancia de métricas para espacios tridimensionales exhibiendo varias curvaturas se presentan. Mi pregunta es acerca de su tratamiento de un espacio tridimensional bajo unifom curvatura positiva:

En coordenadas polares, en las dos dimensiones de la superficie de una esfera, podemos expresar la distancia $d\ell$ entre los dos puntos como una función de su separación en el radial coordinar $r$, y

$d\ell^2 = dr^2 + R^2\sin^2(r/R)d\theta^2$

En tres dimensiones, esto se extiende a

$d\ell^2 = dr^2 + R^2\sin^2(r/R)[d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2]$.

Ahora, mi texbook afirma que cuando los dos puntos cuya separación que estamos midiendo están en antipolar lugares, tenemos $r = \pi R \rightarrow r/R=\pi$, lo que da

$sin^2(r/R) = 0\rightarrow d\ell^2 = dr^2$.

Pero esto no tiene ningún sentido para mí. Esta no es la forma esférica coordina el trabajo a todos, a la derecha...? Si tengo dos punto en el antipolar puntos sobre una esfera, y yo medida de cada uno de sus $r$ coordenadas (la longitud del punto a lo largo de una línea formando ángulos $\theta$ $\phi$ de la $z$ $x$ ejes, respectivamente) como $r_1$$r_2$, luego shoudln no su separación de $dr = |r_1-r_2|$ ser $2R$? Esto significaría que $r/R = 2 \neq \pi$

Alegando que $r/R = \pi$ implica que el $r$ se refiere a la actual de la longitud de la trayectoria entre los puntos a lo largo de la superficie de la esfera, que no es la forma esférica de las coordenadas de trabajo.

Es mi error en la aplicación de estas coordenadas esféricas a una de dos dimensiones de la superficie de la esfera, cuando se supone que debo estar pensando en las tres dimensiones de la superficie bajo el uniforme de curvatura positiva? I. e. la imagen que tengo en mi cabeza de cómo esférica coordina el trabajo en este contexto es del todo mal, o al menos a mi la colocación de los puntos?

Me estoy imaginando un "espacio tridimensional bajo el uniforme de curvatura positiva" como una esfera, como la Tierra. Pero eso no está bien, ¿no? Que se me acaba de imaginar una superficie 2D se curvó en una tercera dimensión, cuando la más precisa analógica es de alguna manera imaginar un espacio 3D se "curva" en una cuarta dimensión?

Answer 1

De hecho, estos dos ejemplos son para $S^2 \subset \mathbb R^3$$S^3 \subset \mathbb R^4$, y todas las distancias se miden en la (hiper)de la superficie de la esfera.

Yo creo que el principal punto de confusión es el uso de la etiqueta $r$. La coordenada $r$ aquí es no el mismo $r$ de coordenadas esféricas en $\mathbb R^3$ - más bien, es la distancia desde el polo norte, se mide en la superficie. Desde el punto de vista de un ($2$-dimensional) observador sentado en el polo norte, estos son realmente la cosa más cercana disponible a coordenadas polares en $S^2$. En general se les conoce como geodésico de coordenadas polares.

Para hacer la relación más obvia, vamos a tomar la costumbre de métricas para $\mathbb R^3$ esféricas en coordenadas y cambiar el nombre de una variable: voy a llamar a la radial coordinar $\rho$. La métrica es entonces

$$ d\ell^2 = d\rho^2 + \rho^2\left( d \phi^2 + \sin^2(\phi) d\theta^2 \right).$$

La restricción de este a la esfera $\rho = R$ obtenemos $$d \ell^2 = R^2 \left(d \phi^2 + \sin^2(\phi) d\theta^2\right).$$

Ahora sólo tenemos que cambiar el ángulo polar $\phi$ a del norte-polo distancia $r=R \phi$, que los rendimientos de $$d \ell^2 = dr^2 + R^2 \sin^2(r/R) d\theta^2.$$

Si se amplía la esfera (es decir, disminución de la curvatura) tomando la $R \to \infty$ obtenemos $R^2 \sin^2(r/R) \to r^2$ y por lo tanto esto converge en algún sentido a la métrica usual de coordenadas polares $(r,\theta)$$\mathbb R^2$.

Si usted hace lo mismo con hyperspherical coordenadas en $\mathbb R^4$ usted debe obtener la versión tridimensional.

Answer 2

Para completar la excelente respuesta de Anthony nos ha ofrecido, me gustaría remarcar lo que el $S^3$ ejemplo significa para ilustrar.

Es cierto que la parametrisation de $S^3$ puede ser obtenida a partir de a $\mathbb R^4$ con la métrica euclidiana en coordenadas esféricas, pero tiene también una buena interpretación, sin ninguna apelación a $\mathbb R^4$.

Podemos imaginarnos a nosotros mismos como viviendo en un espacio de tres dimensiones) con constante intrínseca de la curvatura de la $1/R$. Para describir este espacio con coordenadas esféricas parece tan natural como hacerlo por un espacio plano: enviamos líneas desde algún punto y dos líneas especiales elegimos y medida de dos ángulos wrt esta líneas especiales para determinar cada una de las otras líneas. La posición de cualquier punto se puede establecer con esta dos ángulos y la distancia a lo largo de la línea correspondiente a este ángulos. Comentario de nuevo que esto es lo que hacemos para coordenadas esféricas en un espacio plano.

La curvatura de la cosa que se muestra cuando, obviamente, tenemos que calcular (o medida!) ángulos, distancias relativas, los desplazamientos, en relación con los desplazamientos... todo esto con la ayuda de la métrica que alguien descubrió y que es descrito por:

$$d\ell^2 = dr^2 + R^2\sin^2(r/R)[d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2]$$

Con $R$ algunos muy grandes parámetro. Si no tenemos la intención de viajar muy lejos, tenemos que $\sin(r/R)\approx r/R$, lo podemos hacer bien nuestros cálculos con:

$$d\ell^2 = dr^2 + r[d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2]$$

La antigua línea de elemento para el espacio euclidiano expresed en coordenadas esféricas.

Pero teniendo en cuenta las grandes distancias que tienen que lidiar con las $\sin$ cosa en la línea de elemento.

Enviamos dos barcos, uno lo largo de la raya con $\theta=0,\phi=0$ el otro a lo largo de la ray con $\theta=0,\phi=\pi/4$, todo el camino en un camino recto y con la misma velocidad. Se observa inicialmente que, como era de esperar, están recibiendo aparte... hasta algún punto desde donde comienzan a acercarse. Ese punto, que la medida, que está a una distancia de $\pi R/4$ desde la salida. ¿Cómo entendemos $R$ ahora? simplemente como algunos de los parámetros que, en este universo, explica lo extraño que en algún bien determinado de la distancia de dos naves que viajan en línea recta y en initialy divergentes líneas comienzan a acercarse. Además, finalmente se encuentran! y, se debe repetir, que viajan en líneas rectas.

Desde el punto de vista de un físico, no es necesario explicar que la métrica decir que nuestro universo es un subconjunto de algún espacio más grande. En todo, no tenemos ninguna evidencia de que un mayor espacio. Podemos decir que el espacio en que vivimos es curvo en la naturaleza, simplemente, por el hecho de que podemos entender $S^3$ como parte de $\mathbb R^4$ no más de una cosa buena para hacer cálculos más fácil. Así es, el número de $R$ no es más que un parámetro para expresar lo que podemos llamar el tamaño del universo y $\pi$ constante para tratar la sinusitis parte de la métrica.