¿Cómo puedo calcular el flujo dentro de esta forma?

Question

Aquí está una foto de mi multivariable de cálculo del libro de texto. La pregunta es en un capítulo sobre el teorema de la divergencia. Voy a resumirlo aquí (lo siento por mi mala inglés):

Una barra curva en la tubería de $S$ se ilustra. El límite de $S$ es un par de círculos $C_1$$C_2$. El círculo de $C_1$ radio $3$, y está contenida en el plano de la $y=0$ $C_2$ radio $1$ y está contenida en el plano de la $z=4$. El volumen de $S$$12$. Calcular el flujo del campo $F=g(y,z)i+8j-(2z+3)k$ donde $g$ tiene derivadas parciales continuas.

Me tomó de la divergencia de $F$, lo que me dio ${\dfrac{d}{dx}}g-2$. Utilizando el teorema de la divergencia para encontrar el flujo, que luego se multiplica este resultado por el volumen, $12$. La respuesta del problema es $83π-24$. Tengo la $-24$ multiplicando $-2$$12$, pero, ¿de dónde la $83π$? Gracias!

Answer 1

Vamos a llamar a la lateral de la superficie de la tubería de $S$ y la superficie en los extremos de la $S_1$ $S_2$ correspondiente a los círculos $C_1$$C_2$. Debe tener en cuenta que la unión de $S$, $S_1$, y $S_2$ va a construir un cerrado de la superficie. Llamemos a esta superficie cerrada $\partial \Omega$. Entonces el teorema de la divergencia se puede aplicar al volumen $\Omega$ rodeado por la cerrada de la superficie de $\partial \Omega$. Por lo tanto, podemos escribir

$$\begin{align} \int_{\Omega} \nabla \cdot F dV &= \oint_{\partial \Omega} F.dS \\ \int_{\Omega} \nabla \cdot F dV &= \int_{S} F.dS + \int_{S_1} F.dS + \int_{S_2} F.dS \\ \end{align}$$

y por lo tanto

$$ \int_{S} F.dS = \int_{\Omega} \nabla \cdot F dV - \int_{S_1} F.dS - \int_{S_2} F.dS $$

que finalmente conduce a

$$ \int_{S} F.dS = (-2 \cdot 12) - (-8 \cdot \pi \cdot 3^2) - (-11 \cdot \pi \cdot 1^2) = -24 +72 \pi+11 \pi= 83 \pi-24 $$

Answer 2

Si la superficie completa $S$ por dos diskes $D_1$, $D_2$ cuyos límites se $C_1$$C_2$, será el límite de $\partial X$ algún tipo de región cilíndrica $X$. El teorema de la divergencia nos dicen

$$\left( \int_{S} + \int_{D_1} + \int_{D_2} \right) F\cdot dA = \int_{S\copa D_1 \copa D_2} F\cdot dA = \int_{\partial X} F\cdot dA\\ = \int_X \nabla\cdot F dV = -2\verb/Vol/(X) = -2\cdot 12 = -24\etiqueta{*1}$$

Basado en lo que ha sido mostrado en la imagen.

En $D_1$, el exterior apuntando normal de $\partial X$ apunta en la $-ve$ $y$-dirección.
Su contribución al flujo es

$$\int_{D_1} F\cdot dA = (-1) 8\; \verb/Area/(D_1) = -8 (\pi 3^2) = -72\pi$$

En $D_2$, el exterior apuntando normal de $\partial X$ apunta en la $+ve$ $x$-dirección.
Su contribución al flujo es (aviso $z$ es una constante en $D_2$ )

$$\int_{D_2} F\cdot dA = -(2*4+3)\; \verb/Area/(D_2) = -11(\pi 1^2) = -11\pi$$

Sustituir estos dos expresión en $(*1)$, se obtiene

$$\int_{S} F\cdot dA - 72\pi - 11\pi = -24 \quad\ffi\quad\int_{S} F\cdot dA = 83\pi - 24$$

Answer 3

Utilizar el teorema de la divergencia, su superficie debe ser cerrado. Aquí, no es el caso. Una manera de trabajar alrededor de esto es escribir

$$ \phi = \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S}= \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S}+ \iint_{S_1} \vec{F}\cdot d\vec{S}+ \iint_{S_2} \vec{F}\cdot d\vec{S}- \iint_{S_1} \vec{F}\cdot d\vec{R}- \iint_{S_2} \vec{F}\cdot d\vec{S}, $$ donde $S_1$ $S_2$ son los discos que cerrar el tubo.

Por Chasles teorema de, usted puede poner los tres primeros términos juntos:

$$ \phi = \iint_{S\copa S_1 \copa S_2} \vec{F}\cdot d\vec{S}- \iint_{S_1} \vec{F}\cdot d\vec{R}- \iint_{S_2} \vec{F}\cdot d\vec{S} $$

Y esta es una buena idea, ya que ahora dispone de una superficie cerrada ($S\cup S_1 \cup S_2$) en los que puede utilizar el teorema de la divergencia:

$$ \phi =\iiint_E div\vec{F}\; dV - \iint_{S_1} \vec{F}\cdot d\vec{R}- \iint_{S_2} \vec{F}\cdot d\vec{S}, $$

con $div\vec{F}=0+0-2$.

Desde $S_1$ $S_2$ son discos en los planos $y=0$$z=4$, tienen unitaria normal vectores orientados hacia el exterior igual a$(0,-1,0)$$(0,0,1)$. De ello se sigue que

$$ \phi = -2 \text{Volumen}(E) -\iint_{S_1} -8 dS - \iint_{S_2} -(2z+3) \;dS\\ =-2 \text{Volumen}(E)+8 \text{Área}(S_1)+\iint_{S_2}2z+3 \;dS\\ =-24+72\pi +\iint_{S_2}2z+3 \;dS $$

Ahora para la última integral, $z=4$$S_2$, por lo que es igual a $11\text{Area}(S_2)=11\pi$. De ello se sigue que

$$ \phi=-24+72\pi+11\pi=-24+83\pi. $$

Nota. También puede hacer esto con el Stoke del teorema (¿por qué?)! Es un buen ejercicio para demostrar que se le dará el mismo ecuaciones...