Estoy dado de una serie: $$\sum\limits_{n=1}^\infty \sin\left(\pi \sqrt{n^2+\alpha}\right)$ $ y en la descripción del problema se dice que yo debo mostrar por Leibniz que es convergente. ¿Cómo puedo conseguir incluso el símbolo de $(-1)^n$ de la serie inicial?
Respuestas
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La serie es convergente.
Ya que $n$ $+\infty$, podemos escribir $$\begin{align} u_n &:=\sin \left( \pi \sqrt{n^2+\alpha^2 }\right)\\ &=\sin \left( \pi n \:\sqrt{1+\frac{\alpha^2}{n^2}}\right)\\ &=\sin \left( \pi n \:\left(1+\frac{\alpha^2}{2n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^4}\right)\right)\right)\\ &=\sin \left( \pi n +\frac{\pi\alpha^2}{2n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)\\ &=(-1)^n\sin \left(\frac{\pi\alpha^2}{2n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)\\ &=\frac{\pi\alpha^2}2\frac{(-1)^n}{n}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right) \end {Alinee el} $$ dando la convergencia de la serie inicial $\displaystyle \sum u_n$.
HappyEngineer
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Escriba $$ \begin{align} \sqrt{n^2+\alpha}&=n + \left(\sqrt{n^2+\alpha}-n\right)\\ &=n+\frac{\alpha}{\sqrt{n^2+\alpha}+n} \end{Alinee el} $$
Ahora $\sin (n\pi + x)=(-1)^n\sin(x)$. Que $$x_n=\frac{\alpha}{\sqrt{n^2+\alpha}+n}$% $ de \sin(x_n\pi) de $ we see that it is positive and decreases to zero, and thus that $es positivo y disminuye a cero.
Puede que tenga que modificar un poco el argumento si $\alpha$ puede ser negativo, pero que tratan como un caso especial.
