¿Lo ha mal con esta "prueba" que $\frac {de^x}{dx} \neq e^x$?
$$e^x = \sum _{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n $ $ Por lo tanto $$\frac{d e ^x}{d x}= \sum _{n=0}^\infty \frac{n}{n!}x^{n-1}= \frac{1}{(-1)!}x^{-1}+\sum _{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n\neq e^x$ $
El error debe estar en alguna parte en el hecho de que tire el operador derivado "a través de" el operador de suma. Eso es posible si la suma es finita, pero dado que es infinito debe ser válido, pero ¿por qué?
Observe % $ $$e^x = \sum _{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n = \frac{1}{0!}x^0 + \sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n!}x^n = 1 + \sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n!}x^n, $
desde $0! = x^0 = 1$. Ahora, nosotros podemos derivar:
$$ \frac{d e ^ x} {dx} = \frac{d}{dx}\left (1 + \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{1}{n!} x^n\right) = \frac{d}{dx}1 + \frac{d}{dx}\sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{1}{n!} x ^ n = \\ 0 + \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{d}{dx}\frac{1}{n!} x ^ n = \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{n}{n!} x ^ {n-1} = \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{1}{(n-1)!} x ^ {n-1}. $$
En este punto, si plantea $m = n-1$, entonces se obtiene:
$$\frac{d e^x}{dx} = \sum _{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!}x^{n-1} = \sum _{m=0}^\infty \frac{1}{m!}x^{m},$$
que es lo que buscas.
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