$\int_{\pi\over2}^{5\pi\over2}{e^{\tan^{-1}(\sin x)}\over e^{\tan^{-1}(\sin x)}+e^{\tan^{-1}(\cos x)}}dx$

Question

Encontrar el valor de la integral

$$\int_{\pi/2}^{5\pi/2}{e^{\tan^{-1}(\sin x)}\over e^{\tan^{-1}(\sin x)}+e^{\tan^{-1}(\cos x)}}dx$$

Estaba tratando de utilizar la propiedad $\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)$

Sin embargo yo no puedo evaluar.

Answer 1

$$I:=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\frac{e^{\tan^{-1}{(\sin{x})}}}{e^{\tan^{-1}{(\sin{x})}}+e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}\,dx$$

Edificio en achille hui de la sugerencia en los comentarios, sustituto $x=u+\pi$ encontrar,

$$I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}{e^{\tan^{-1}{(\sin{x})}}+e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}\,dx.$$

Puesto que el integrando es periódica en $x$ periodo $2\pi$, cualquier integral sobre un intervalo de longitud de $2\pi$ tendrá el mismo valor (es decir, podemos cambiar los límites de integración por una cantidad arbitraria. Por lo tanto,

$$I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}{e^{\tan^{-1}{(\sin{x})}}+e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\frac{e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}{e^{\tan^{-1}{(\sin{x})}}+e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}\,dx.$$

Por lo tanto,

$$2I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\frac{e^{\tan^{-1}{(\sin{x})}}+e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}{e^{\tan^{-1}{(\sin{x})}}+e^{\tan^{-1}{(\cos{x})}}}\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}1\,dx=2\pi\\ \implica I=\pi.$$

Answer 2

Romper la integral como: $$\int_0 ^{\frac{5\pi}{2}}f(x)dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx $ $

Esto le permite utilizar esa propiedad y evaluar esas dos integrales independientemente como denominador sigue siendo la misma y en la adición, de numerador = denominador