Extensión del anillo finito y el número de máximos ideales

Question

Quiero entender por qué las siguientes es verdadera:

Deje $S \subseteq R$ ser conmutativa anillos con $1$ y asumir que $R$ es finitely genera como una $S$-módulo a la mayoría de los $k$ elementos. Para cada ideal maximal $M$ $S$ hay en la mayoría de las $k$ máxima ideales de $R$ se encuentra por encima del $M$.

Así que vamos a $T$ ser un ideal maximal de a $R$ se encuentra por encima del $M$$T \cap S = M$. Ahora se puede demostrar que $R/T$ es un finitely generadas $S/M$-módulo. Por lo tanto $R/T$ es Artinian y por lo tanto tiene un número finito de máximos ideales. A partir de aquí tengo dos preguntas:

1) ¿por Qué de esto se deduce que sólo puede haber un número finito de $T$ se encuentra por encima del $M$? Sospecho que se está utilizando algún tipo de correspondencia que no veo.

2) ¿por Qué en la mayoría de las $k$ ?

Por favor puede explicar?

Answer 1

Usted dice $R/T$ es Artinian. Esto es cierto: es ya un campo. Lo que queremos es que la $R/MR$ es finito-dimensional $S/M$-espacio vectorial, por lo tanto Artinian, por lo que tiene un número finito de máximos ideales. Esto implica que un número finito de máximos ideales de $R$ mentira más de $M$.

Para ver por qué, y también para entender el límite en el número de máxima ideales, utilice el siguiente hecho: si $R$ es cualquier anillo conmutativo con $1$, $R$ los mapas en el producto de todos los $R/\mathfrak{p}$ donde $\mathfrak{p}$ corre sobre el primer ideales de $R$, y el kernel es el nilradical de $R$. Esto, junto con el hecho de que el primer es equivalente a la máxima en un Artinian anillo, debe darle lo que usted necesita.