Identidad combinatoria

Question

Cómo se demuestra la siguiente identidad en sentido combinatorio $$ \zeta(s) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{\log n} n^{-s} \right)$$

donde $\zeta(s)$ es el Función zeta de Riemann y $\Lambda(n)$ es el Función Von Mangoldt . Por definición, $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$$

¿Qué hace $\zeta(s)$ ¿contar? ¿Puede interpretarse en términos de probabilidad? ¿También se puede considerar el lado derecho como una función generadora exponencial?

Answer 1

Tengo una idea para una prueba, aunque no sé si esto califica para ser una prueba combinatoria en absoluto. Sin embargo, voy a dar esta prueba. Perdóname si no es ni siquiera cerca de lo que se desea.

Desde $$\Lambda(n)=\left\{\begin{array}{rl} \log p & \mbox{if}\ n=p^k\\ 0 & \mbox{else} \end{array} \right.$$ Podemos reescribir el lado derecho como la suma de todos los números de la forma $p^k$ donde $p$ son primos. \begin{equation} \begin{split} \sum_{n\ge 1}\frac{\Lambda(n)}{\log n}n^{-s}=& \sum_{k\ge 1}\sum_{p}\frac{\Lambda(p^k)}{\log(p^k)}(p^k)^{-s}\\ \ =& \sum_{k\ge 1}\sum_{p}\frac{\log p}{k\log p}p^{-ks}\\ \ =& \sum_{k\ge 1}\sum_{p}\frac{1}{k}p^{-ks}\\ \end{split} \end{equation}

Ahora, podemos observar que, por el producto de Euler \begin{equation} \begin{split} \zeta(s)=&\frac{1}{\displaystyle \prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)}\\ \Rightarrow \log(\zeta(s))=& -\sum_{p}\log(1-p^{-s})\\ \ =&\sum_{p}\sum_{k\ge 1}\frac{p^{-ks}}{k} \end{split} \end{equation}

Por lo tanto, $$\log(\zeta (s))=\sum\frac{\Lambda(n)}{\log n}n^{-s}\\ \Rightarrow \zeta(s)=\exp\left(\sum\frac{\Lambda(n)}{\log n}n^{-s}\right) \Box $$