Categoría de Lusternik-Schnirelmann: inserción nullhomotopic vs termocontraibles

Question

El Lusternik-Schnirelmann categoría de un espacio topológico $X$ es el entero más pequeño $k$ (si existe) de tal forma que hay una apertura de la tapa $\{U_0, \dots, U_k\}$ $X$ de manera tal que cada inclusión mapa de $U_i \hookrightarrow X$ es nullhomotopic; se denota este por $LS(X) = k$. Si no se entero de que existe, escribimos $LS(X) = \infty$.

Cabe señalar que algunas de las referencias (por ejemplo, Wikipedia) uso diferente de la normalización de la cual difiere de la anterior por uno.

El Lusternik-Schnirelmann categoría es un homotopy invariantes que goza tiene varias propiedades atractivas, lo que es una interesante invariante para el estudio. Me pregunto, sin embargo, si hay alguna diferencia entre el uso de una cubierta abierta por los conjuntos donde las inclusiones son nullhomotopic (de juegos, que a veces se llama 'contráctiles en $X$') y el uso de una cubierta abierta por contráctiles conjuntos.

Definir la alternativa de Lusternik-Schnirelmann categoría de un espacio topológico $X$ a ser el más pequeño entero $k$ (si existe) de tal forma que hay una apertura de la tapa $\{U_0, \dots, U_k\}$ $X$ de manera tal que cada una de las $U_i$ es contráctiles; se denota este por $LS'(X) = k$. Si no se entero de que existe, escribimos $LS'(X) = \infty$.

Pregunta 1: Es $LS'(X)$ un homotopy invariante?

Si $LS'(X)$ es un homotopy invariante, podemos comparar los invariantes $LS(X)$$LS'(X)$. Si $U \subseteq X$ es contráctiles, la inclusión $U \hookrightarrow X$ es nullhomotopic, por lo que se deduce que el $LS(X) \leq LS'(X)$.

Pregunta 2: Es $LS(X) = LS'(X)$?

Answer 1

$LS'$ no es un homotopy invariante. Es sencillo comprobar que $LS(X \vee Y) = \text{max}(LS(X),LS(Y))$ razonable de los espacios (debemos exigir que en nuestro mínima apertura de la tapa, un conjunto abierto que contiene el punto de base tiene el punto de base del componente de deformación se retracte en el punto de base), y $LS'(X \vee Y) = LS'(X) + LS'(Y)$. (Puedo aportar pruebas si así lo desea). En particular, $LS'(\Sigma T^2) = 1$, ya que puede cubrir por los dos conos, pero esto es homotopy equivalente a $S^2 \vee S^1 \vee S^1$, e $LS'(S^2 \vee S^1 \vee S^1) = 3$. El punto importante es que para $LS$, el open establece en su cubierta puede ser desconectado, mientras que este no es el caso de $LS'$. Su definición de stands de más de una posibilidad de supervivencia si se definen $LS'$ en términos de las cubiertas por abrir conjuntos de componentes contráctiles (pero esto ya no es tan emocionante una alternativa de definición).