¿Los principales ataques a la Hipótesis de Riemann?

Question

Intentos de demostrar la Hipótesis de Riemann

Así que estoy recopilando una lista de todos los ataques y enfoques actuales de la Hipótesis de Riemann. ¿Puede alguien proporcionarme fuentes (o dar su opinión sobre posibles pruebas de ello) sobre ataques prometedores a la Hipótesis de Riemann?

Según tengo entendido, el campo de un elemento es el enfoque más popular del SR.

Estaría bien que alguien iniciara un proyecto Polymath con el objetivo de demostrar la SR. Seguramente, si todo el mundo discutiera las posibles formas de demostrar la SR, ésta estaría demostrada en un año o así, o al menos la gente habría avanzado un poco más hacia la demostración o refutación.

Answer 1

"Mi opinión actual es que el campo de un elemento es el enfoque más popular del SR".

La teoría analítica de números, con ideas de la geometría algebraica, la teoría de matrices aleatorias y cualquier otra área que pueda ser relevante, es el único enfoque conocido que ha producido algún resultado concreto hacia el SR. La teoría de matrices aleatorias, en particular, ha producido muchas restricciones nuevas e ideas concretas y demostrables sobre la distribución de ceros en la línea crítica.

El campo de un elemento es, por ahora, un área especulativa de la geometría algebraica cuyos fundamentos no están establecidos. Es más una inspiración para la investigación de objetos matemáticos más definidos (por ejemplo, ¿existe un producto tensorial de funciones zeta) que un tema de investigación bien definido en sí mismo.

(Añadiré aquí alguna respuesta a los comentarios. Investigación sobre $F_1$ es, como escribe Matt E, "serio" y se lleva a cabo con varias intenciones sofisticadas en mente, como perfeccionar las analogías entre la teoría de números y la geometría, demostrar la hipótesis de Riemann, comprender los grupos cuánticos o realizar partes de la combinatoria como geometría sobre $F_1$ . Todo esto se propuso en las conferencias de Manin en Columbia hace 20 años, que fueron decisivas para poner de moda la idea en los últimos años. Sin embargo, por muy seria y sofisticada que sea esta investigación, la idea de que una noción adecuada de $\Bbb{F_1}$ existe como base más profunda para la geometría algebraica, o que esta línea de investigación puede desarrollarse para abarcar nuevas variedades más allá del ejemplo original de los grupos de Weyl de grupos reductores (o variedades bandera y otros ejemplos con simples $q$ -enumeraciones) --- o la esperanza de que todo esto pueda ayudar a demostrar la hipótesis de Riemann --- es una empresa especulativa y cuyos fundamentos no se han establecido).

Answer 2

Cabe señalar que Alain Connes abordó el problema desde un plano muy diferente ( http://arxiv.org/abs/math/9811068 ), siguiendo el camino de Weil y Haran, trató de construir una "teoría de índices" en el contexto aritmético vinculando datos aritméticos con propiedades espectrales de un cierto operador que es cerrado e ilimitado y cuyo espectro consiste en partes imaginarias de los ceros de la función L de Hecke con carácter de Grossen. Esencialmente reconstruyó una teoría similar a la de Selberg, encontró una fórmula de traza equivalente a la RH utilizando las fórmulas explícitas de Weil.

En realidad, Shai Haran también formuló una fórmula de traza "similar" en su artículo de la AMS "On Riemann's zeta function" (Sobre la función zeta de Riemann). Los misterios de lo realmente primordial .

Answer 3

Consulte también el siguiente artículo, sobre el Criterio Báez-Duarte :

http://www.man.poznan.pl/cmst/2008/v_14_1/cmst_47-54a.pdf

En concreto, fíjese en el gráfico de la Fig. 2 de la página 5 de 8.

Si alguien puede demostrar que sigue siendo una función coseno obvia, como sugieren las fórmulas asociadas, con amplitud no creciente y sin nuevas tendencias que se arrastren para n más grande que la deseche, entonces ¡quizás eso sería suficiente para demostrar RH!

Answer 4

Un ataque de la física basado en un problema espectral inverso arroja que la inversa del potencial es $V^{-1}(x) = 2\sqrt \pi \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \operatorname{Arg} \xi (1/2+i \sqrt x)$ .

En este caso también las funciones Theta clásica y semiclásica son casi iguales $$ \Theta (t)= \sum_n \exp(-t E_n) = \iint_C \,dp \, dx \, \exp(-tp^2 - tV(x)) .$$ Esta es una de las mejores aproximaciones a la HR.

Answer 5

Dudo en escribir esta respuesta porque sé muy poco sobre el tema. Sin embargo, hace ya un par de años que me topé con un interesante artículo en el arXiv https://arxiv.org/pdf/1703.03827.pdf de Vladimir Blinovsky. Este documento me parece una idea sencilla y atractiva para abordar el problema. Me parece extraño que esta idea no haya atraído mucha publicidad, ya que lleva bastante tiempo en el arXiv. De hecho, esta idea puede describirse en palabras sencillas sin recurrir a las matemáticas. Permítanme hacerlo ahora.

Fijemos la notación: \begin{equation} \zeta(s) := \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n^s} \quad (A) \end{equation} donde $s\in {\mathbb C}$ y $Re[s] > 1$ . Por continuación analítica (como la realizada originalmente por Riemann https://en.wikipedia.org/wiki/File:Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf deformando el contorno de integración en el plano complejo y utilizando el teorema de Cauchy) obtenemos la ecuación funcional: \begin{equation} \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin(\frac{\pi s}{2}) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \quad (B) \end{equation} para $s\in {\mathbb C}$ y $s\neq1$ .

Definamos el módulo cuadrado de la función zeta como sigue: \begin{equation} K(\sigma,T) := \left| \zeta(s)\right|^2 \end{equation} donde $s=\sigma + \imath T$ . Es evidente que $\zeta(s)$ es continua y suave, lo mismo vale para la función $K$ es decir, también es continua y suave.

Ahora viene lo importante. Lo que Blinovsky afirma en su artículo es que la función $K(\sigma,T)$ es convexa en la variable $\sigma$ . En otras palabras, afirma que \begin{equation} \frac{\partial^2 K(\sigma,T)}{\partial \sigma^2} \ge 0 \quad (C) \end{equation} para $\sigma \in (0,1)$ y $T$ ser lo suficientemente grande, es decir, ser mayor que algún número que es independiente de $\sigma$ . Nótese que la propiedad (C) junto con la ecuación funcional (B) implica inmediatamente que la hipótesis de Riemann es cierta. De hecho, supongamos que hay algún cero desviado de la línea crítica en algún punto $(\sigma = \sigma_0,T)$ donde $\sigma_0 \in (1/2,1)$ . Entonces a partir de la ecuación funcional debe haber otro cero en $(1-\sigma,T)$ donde $1-\sigma_0 \in (0,1/2)$ . Pero esto significaría en realidad que el conjunto $\left\{\xi \in (1-\sigma_0,\sigma_0) | K(\xi,T)\right\}$ es estrictamente negativa, lo que no puede ser, ya que por definición la función $K$ sea no negativo o que el conjunto en cuestión sea idénticamente igual a cero, lo que de nuevo es imposible porque la función es suave por definición.

Ahora surge la pregunta ¿cómo demuestra Blinovsky la convexidad? Él parte de una cierta representación integral de la función zeta y luego cambiando las variables apropiadamente y luego diferenciando con respecto a $\sigma$ dos veces termina con la siguiente expresión prolija . Tenemos: \begin{equation} \frac{\partial^2 K(\sigma,T)}{\partial \sigma^2} = \frac{8 }{\pi T} \left(\int\limits_0^1 f(h,T) \cos\left( \frac{\pi h}{2}\right)^2 dh - \frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(h,T) dh \right) \end{equation} donde $f(h,T)$ es alguna función complicada expresada a través de una integral impropia y una suma infinita, una función demasiado larga para ser escrita aquí sin el beneficio de alguna perspicacia. Ahora bien, como $\int\limits_0^1 \cos(\pi h/2)^2 dh = 1/2$ demostrar la propiedad de convexidad es equivalente a la desigualdad de Fortuin-Kasteleyn-Ginibre (FKG) https://en.wikipedia.org/wiki/FKG_inequality . Dado que el coseno al cuadrado es monotónicamente decreciente en $h\in(0,1)$ lo único que hay que hacer es demostrar que $f(h,T)$ también es monotónicamente decreciente en el dominio en cuestión. Blinovsky procede a demostrar que observando la derivada $\partial_h f(h,T)$ y demostrando que es negativo para todo $h \in(0,1)$ y para $T$ ser lo suficientemente grande.

Habiendo dicho todo esto mi pregunta sería si este enfoque de este problema es sólido o si por el contrario hay algo internamente defectuoso aquí que no haga que valga la pena seguir este hilo en absoluto.

Le agradecería mucho que me diera su opinión. Gracias de antemano por ello.