Si $\lim_{x\to\infty}u_k(x) = b_k$, ¿cómo puede mostrar $\lim_{x\to\infty}\sum_0^\infty u_k(x)=\sum_{0}^\infty b_k$?

Question

Estoy trabajando en un problema de la p. 277 de Buck Cálculo Avanzado. Nos pide demostrar el siguiente teorema, sin hacer el cambio de variable $x=1/t$:

"Vamos a $ \sum_{1}^\infty u_n(x)$ convergen a $F(x)$, de manera uniforme para todos los $x$$c\leq x < \infty$.Deje $\lim_{x\to\infty}u_n(x) = b_n<\infty$$n=1,2,\dotsc$. A continuación, $\sum_{1}^\infty b_n$ converge, y $\lim_{x\to \infty}F(x) = \sum_1^\infty b_n$."

(La prueba con $x=1/t$ consiste en emplear el teorema de que si $f_n$ son continuas en a $\overline{S}$ y convergen uniformemente en el interior de $S$, luego convergen uniformemente en $\overline{S}$.)

Mi idea hasta ahora ha sido tome $N$ tal que $\sum_{k=N+1}^\infty u_k(x)<\epsilon$ todos los $x\geq c$. Ahora me gustaría encontrar a $\kappa \in \mathbb{R}$ tal que $|u_k(x)-b_k|<\epsilon_2 \,\,\,\,\forall k\in \mathbb{Z}^+\,\,\forall x\geq \kappa$. Pero este punto no está disponible para mí, como yo sé. Alguna idea?

Answer 1

Para la primera pregunta, es suficiente para mostrar que el $\left(\sum_{n=1}^Nb_n,N\geqslant 1\right)$ de la secuencia es Cauchy. Fijar $\varepsilon>0$ y $N_0$ tal que si $M\geqslant N\geqslant N_0$, tenemos $\sup_{x\geqslant c}\left|\sum_{n=N}^Mu_n(x)\right|<\varepsilon$ (por la hipótesis de la convergencia uniforme). Esto da que tal $M,N$, tenemos $\left|\sum_{n=N}^Mb_n\right|\leqslant \varepsilon$.

Para la segunda pregunta, fijar $\varepsilon>0$. Luego tome un entero $N$ tal que $x\geqslant c$, $$\left|F(x)-\sum_{n=1}^Nu_n(x)\right|<\varepsilon\quad\mbox{and}\quad\left|\sum_{n\geqslant N+1}b_n\right|<\varepsilon.$ $ entonces para tal $x$, $$\left|F(x)-\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\right|+\sum_{n=1}^N|u_n(x)-b_n|\leqslant 2\varepsilon,$ $ por lo tanto %#% $ $$\limsup_{x\to +\infty}\left|F(x)-\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\right|\leqslant 2\varepsilon.$ #% era arbitraria, podemos concluir.