Valor propio de una matriz de bloques

Question

Tengo las siguientes matrices de bloques:

$$M_1 = \left(\begin{array}{cc}A & B\\B' & D\end{array}\right)$$ y

$$M_2 = \left(\begin{array}{cc}A & -B\\-B' & D\end{array}\right)$$ Quiero demostrar que $\mathrm{eig}(M_1) = \mathrm{eig}(M_2)$ . ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si se conjuga $M_1$ con $$ \pmatrix{I&0\cr0&-I\cr}, $$ donde los tamaños de los bloques de esta matriz coinciden con los de $M_1$ y $M_2$ ¿Qué es lo que obtienes?

¿Qué hace la conjugación con los valores propios?

Answer 2

Permítanme explicar un poco la respuesta de Jyrki (siéntanse libres de votar mi respuesta, pero creo que deberían dar prioridad a su respuesta en cuanto a la aceptación de una respuesta). En primer lugar, recordemos que los valores propios de una matriz $M$ son los ceros del polinomio característico $\mathrm{char}(P):=\det(M-tI)$ , donde $I$ es la matriz de identidad del mismo tamaño que $M$ . En segundo lugar, recuerda que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ , siempre que $A,B$ son matrices cuadradas del mismo tamaño. En tercer lugar, si $P$ es una matriz invertible (es decir, $\det(P)\neq 0$ ), entonces $\det(P^{-1})=\frac{1}{\det(P)}$ (en realidad esto se deduce del segundo hecho, ya que una matriz identidad tiene determinante de $1$ .

Ahora, como consecuencia de todo esto, vemos que si $P$ es cualquier matriz invertible del mismo tamaño que una matriz $M$ entonces tenemos

$\begin{eqnarray*} \mathrm{char}(PMP^{-1}) & = & \det(PMP^{-1}-tI)\\ & = & \det(PMP^{-1}-tPP^{-1})\\ & = & \det\bigl(P(M-tI)P^{-1}\bigr)\\ & = & \det(P)\det(M-tI)\det(P^{-1})\\ & = & \det(M-tI)\\ & = & \mathrm{char}(M), \end{eqnarray*}$

por lo que "conjugar" una matriz no cambiará su polinomio característico, y por tanto no cambiará sus valores propios.

En particular, supongamos que $A$ es un $k\times k$ matriz y $D$ es un $m\times m$ y que $I_k$ y $I_m$ denotan el $k\times k$ y $m\times m$ matrices de identidad, respectivamente. Jyrki sugiere, entonces, que se establezca $$P=\left(\begin{array}{cc} I_k & 0_{k\times m}\\0_{m\times k} & -I_m\end{array}\right),$$ entonces observa que $M_2=PM_1P^{-1}$ . De aquí se desprende la conclusión deseada por el trabajo anterior.

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En un comentario más abajo, p.s. ha señalado otra forma de demostrar que la conjugación no cambia los valores propios, y es tan buena que voy a añadirla a mi respuesta. Supongamos que $(\lambda,x)$ es un par propio de $M$ y que $P$ es una matriz invertible del mismo tamaño que $M$ . Poniendo $y=Px$ vemos que $$(PMP^{-1})y=PM(P^{-1}P)x=PMx=P(\lambda x)=\lambda(Px)=\lambda y,$$ por lo que cada valor propio de $M$ es un valor propio de cualquier conjugado de $M$ . Desde $M=P^{-1}(PMP^{-1})(P^{-1})^{-1}$ entonces, por un razonamiento similar, cada valor propio de un conjugado de $M$ es también un valor propio de $M$ .

El sólo El inconveniente de este enfoque (que puedo ver) es que no hace inmediatamente obvio el hecho de que las respectivas multiplicidades algebraicas de los valores propios son invariantes de la conjugación, así como los propios valores propios. Por otro lado, este muestra mucho más fácilmente que las multiplicidades geométricas de los valores propios son invariantes de la conjugación. Ambas cosas son, por supuesto, más información de la que realmente buscabas, pero quería señalar que estos resultados más fuertes se mantienen.