Uno de la herramienta más importante en la mecánica cuántica es el de la serie de Dyson, porque es la base de la teoría perturbativa. No es un paso en la derivación que no puedo entender.
$\{H(t_i)\}$ no son desplazamientos de los operadores. El $T$ producto está definido como sigue:
$$ T[H(t)H(t')] = \theta(t-t')H(t)H(t') + \theta(t'-t)H(t)H(t) $$ donde $\theta$ es la función de Heaviside. Se puede extender a $n$ factores, ordenándolos de modo que los últimos tiempos ($t$) de pie a la izquierda de la anterior.
Necesito pruebas de que: $$ \int_{-\infty}^{t} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \ldots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n H(t_1)H(t_2)\ldots H(t_n) $$ es igual a $$\frac{1}{n!}\int_{-\infty}^{t} dt_1 \int_{-\infty}^{t} dt_2 \ldots \int_{-\infty}^{t} dt_n T[H(t_1)H(t_2)\ldots H(t_n)] $$
He intentado iniciar con $n=2$, entonces creo que es fácil de usar inducción, pero estoy atascado:
$$\int_{-\infty}^{t} dt_1 \int_{-\infty}^{t} dt_2T[H(t_1)H(t_2)] = \int_{-\infty}^{t} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 H(t_1)H(t_2) + \int_{-\infty}^{t} dt_1 \int_{t_1}^{t} dt_2 H(t_2)H(t_1)$$
pero ahora? He intentado cambiar de variables ... alguien me puede ayudar?
He intentado también de visualizar como la integral sobre un cuadrado de $(-\infty, t_1=t]\times (-\infty, t_2=t]$ subdivide en dos triángulos por la diagonal $t_2=t_1$ de un operador $K(t_1,t_2) = K(t_2,t_1)$ porque $T[H(t_1)H(t_2)] = T[H(t_2)H(t_1)]$
