Integral Definida y Constante de Integración

Question

Entiendo que cuando hacemos integrales indefinidas en la recta real, tenemos $\int f(x) dx = g(x) + C$, donde $C$ es una constante de integración.

Si hago una integral de $\int f(x) dx$ en $[0,x]$, ¿se considera esto una integral definida? ¿Puedo simplemente dejar fuera la constante de integración ahora? Me resulta escéptico que sea una integral definida, ya que nuestro valor $x$ sigue siendo una variable.

Answer 1

$\int f(x)\,\mathrm{d}x$ es una antiderivada. Representa cualquier función cuya derivada con respecto a $x$ sea $f(x)$.

$\int_0^af(x)\,\mathrm{d}x$ es una integral definida, y para cualquiera de las antiderivadas $g(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x$ (que incorporan una constante de integración), $$ \int_0^af(x)\,\mathrm{d}x=g(a)-g(0) $$ Por ejemplo, $$ \int x^3\,\mathrm{d}x=\frac14x^4+C $$ para alguna constante $C$, y $$ \begin{align} \int_0^ax^3\,\mathrm{d}x &=\left(\frac14a^4+C\right)-\left(\frac140^4+C\right)\\ &=\frac14a^4 \end{align} $$ sin importar cuál $C$ se elija.

En el caso anterior, $\int_0^xf(x)\,\mathrm{d}x$, hay confusión porque se usa la misma variable dentro de la integral como en los límites. La variable ligada $x$ dentro de la integral no es la misma que la variable libre $x$ en el límite. Para reducir la confusión, tu integral también se puede escribir como $\int_0^xf(t)\,\mathrm{d}t$ cambiando el nombre de la variable ligada. En cualquier caso, esta es una integral definida.

Answer 2

Sí, tu función es una integral definida, porque se evalúa en un intervalo específico. Aunque la constante no es estrictamente necesaria, ya que se restará cuando se evalúe la integral, es buena práctica mantener la constante de integración. Si quieres ser consistente, cambia el nombre de la variable en la función que estás integrando para evitar confusiones, si estás utilizando x como el valor de un punto. Parece que tu razonamiento está correcto.

Answer 3

Una integral definida no es nada diferente de una integral indefinida, pero la constante que fue eliminada durante la diferenciación tiene algún valor definido. Por ejemplo, en integrales indefinidas tenemos que escribir una C que representa todas las constantes después de que se haya hecho la integración. Así que en integrales definidas esta C tiene algún valor y puede ser determinada por algún valor de función, por ejemplo, si (int)f(x)=g(x)+C en los límites de 0 a a, entonces para calcular la C habría un valor de función es decir f(n) (n pertenece a Z) sería dado o se darían algunos detalles para calcularlo. Y para integrar integrales definidas, simplemente intégralas normalmente como indefinidas y luego coloca los valores de los límites en la respuesta (límites superiores - límites inferiores) para obtener la respuesta.