$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, Prueba $e^{P(x)}=\sin x$ tiene una solución.

Question

Que $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$

Prueba: $e^{P(x)}=\sin x$ tiene una solución.

Lo pensé y todavía no encuentra dónde empezar.

¿Alguna idea?, gracias!

Answer 1

Sugerencia: $P(x)$ es un cúbico, así que debe tener al menos una raíz real. Existe un $x_0$ tal que $e^{P(x_0)}=1$. Esto quiere decir %#% $ #%

El coeficiente líder de $$e^{P(x_0)}\geq \sin x_0$ es $P(x)$, que $1$ $

Esto significa que el %#% $ #%

Ahora, ¿por qué debe haber una solución al $$\lim_{x\to-\infty} P(x)=-\infty$ en el intervalo $$\lim_{x\to-\infty} e^{P(x)}=0$? Más fuertemente, ¿por qué debe haber infinitamente muchas soluciones en este intervalo?

Answer 2

$$ x \rightarrow -\infty \rightarrow P(x)=x^3+ax^2+bx+c\rightarrow -\infty \\e^{p(x)} \rightarrow 0^+ \\ \sin x \rightarrow 0^+ $$ so $$e^{p(x)} =\sin x $$ flag

SiNx oscila, y la ecuación tiene solución