Una integral dura

Question

Buscando una solución para una integral: $$I(k)=\int_0^{\infty } \frac{e^{-\frac{(\log (u)-k)^2}{2 s^2}}}{\sqrt{2 \pi } s \left(1+u\right)} \, du .$$ Hasta ahora he probado sustituciones y por partes sin éxito.

Answer 1

El cambio de variable $v = \log u$ muestra que está tratando de integrar el integral logístico-normal .

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{v-k}{s}\right)^2}}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^{-v}}~\mathrm{d}v$$

Dudo que haya una solución de forma cerrada, y no parece que se conozca ninguna.

Ver http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.372.3781&rep=rep1&type=pdf para la aproximación

$$\left|I(s,k)- \frac{1}{1+e^{-\frac{k}{\sqrt{1+\frac{\pi s^2}{8}}}}}\right| < 0.02$$

y http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042712002518 para un debate más profundo.

Answer 2

He aquí un comienzo: $I(0) = \frac{1}{2}$

Prueba:

$$I(0) = \int\limits_0^\infty \frac{\exp\left[-\frac{(\log u)^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s (1+u)} \rm{d}u$$

Poner $\log u = x$

\begin{align} I(0) &= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{e^x}{1+e^x} \rm{d}x \\ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s}\rm{d}x - \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^x} \rm{d}x \end{align}

La primera integral es $1$ . Llama a la segunda integral $K$ . $$K=\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^x} \rm{d}x$$

Dando la vuelta a la gama $0$ , $$K=\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^{-x}} \rm{d}x$$

Ahora toma la media de las dos expresiones, \begin{align} K &=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \left[\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}\right] \rm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s}\rm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\\ I(0) &= 1 - K = \frac{1}{2} \end{align}

Answer 3

Si $k$ es un múltiplo entero de $s^2$ entonces parece que se puede utilizar el resultado $I(0)=\frac12$ para obtener $I(k)$ como una suma de un número finito de términos.