¿De cuántas maneras podemos agregar $1$ ' s y $2$ ' s a $11$ (cuando lo que importa el orden)?

Question

Ejemplos: $1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1$,

$2+2+2+2+2+1$,

$1+2+2+2+2+2$ (cuestiones de orden) intenté solucionar con permutaciones pero me di cuenta que no funciona

Answer 1

Nuestra primera bastante torpe solución aprovecha el hecho de que $11$ es un muy pequeño número.

Podríamos tener $0$ $2$'s, $1$ manera.

Podríamos tener $1$ $2$ y $9$ $1$'s, total $10$ números. La ubicación de la $2$ puede ser elegido en $\binom{10}{1}$ maneras.

Podríamos tener $2$ $2$'una y $7$ $1$'s, el total de $9$ entradas. La ubicación de la $2$'s puede ser elegido en $\binom{9}{2}$ maneras.

Podríamos tener $3$ $2$'s y $5$ $1$'s. Hay $\binom{8}{3}$ opciones.

Para $4$ $2$'s $\binom{7}{4}$ opciones, y para $5$ hay $\binom{6}{5}$ opciones.

Agregar para arriba.

De otra manera: Vamos a $a_n$ el número de maneras de representar el $n$ como un ordenado suma de $1$'s y/o $2$'s. Tenemos $a_1=1$$a_2=2$.

Hay dos tipos de secuencias de longitud $n+1$, (i) el que termina en $1$ y (ii) el que termina en $2$. Hay $a_n$ de Tipo (i), y $a_{n-1}$ de Tipo (ii). De ello se sigue que $$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}.$$ Ahora podemos usar por encima de recurrencia para encontrar $a_3$ $a_4$ y así sucesivamente. Obtenemos la conocida secuencia de Fibonacci.

Answer 2

Creo que he visto una pregunta similar en alguna parte y supongo que encontrar el coeficiente de $x^{11}$ $(x^1+x^2)^k$ % todo $k$hagan el truco.

Razonamiento:

Cada nuevo término escoges exponente 1 o 2, y suman en el exponente gracias al teorema del binomio.