Integración

Question

alguien me puede decir una forma de integrar funciones como $e^{f(x)}$

Tengo un caso específico: $\int e^{-3x}\,\mathrm{d}x$

PD: no busco la respuesta de esto, pero la manera de hacerlo.

Gracias por tu ayuda

Answer 1

Para el caso de que $f(x)$ es lineal, una bonita $u$de sustitución de las obras. Supongo que usted sabe cómo integrar la $\int e^xdx$? Así que con el fin de integrar una función de la forma $e^{f(x)}$, vamos a $u=f(x)$, y por lo tanto $du=f'(x)dx$, lo que le permite a 'resolver' para $dx$ en términos de $du$. Luego de su original integral que va desde la forma $$ \int e^{f(x)}dx $$ a $$ \int \frac{e^u}{f'(x)}du. $$ Por supuesto, esto no siempre es así de fácil integración, como Morón señala. Al $f(x)$ es lineal, tiene una buena situación, debido a que $f'(x)$ es sólo una constante. Otras situaciones que pueden no ser tan fácil de manipular, por lo que yo sé.

Answer 2

Si te refieres a una forma de obtener un anti-derivada en términos de funciones elementales, no existe tal algoritmo general: es conocido que para $f(x) = -x^2$, $\int e^{f(x)}$ no se puede escribir en términos de funciones elementales.

Hay algunos algoritmos generales para el cómputo de los anti-derivados, aunque, por ejemplo: la Fuerza del algoritmo.

Su caso es mucho más fácil de lo que usted ha generalizado su problema también.

Sugerencia: ¿Cuál es la derivada de la $e^{-3x}$ ?

Answer 3

Interesante, disparó mi antiguo programa de álgebra simbólica y escribe lo siguiente

$$ \int{\exp\left(C_{0}+C_{1}x-C_{2}x^{2}\right)}\,\mathrm{d}x= $$

y dio la respuesta

$$ =\sqrt{\frac{\pi}{4C_{2}}}\exp\left(C_{0}+\frac{C_{1}^{2}}{4C_{2}}\right)\mathrm{erf}\left(\frac{C_{1}}{2\sqrt{C_{2}}}-\sqrt{C_{2}}\, x\right) $$

o más simplemente

$$ \int{\exp\left(-x^2\right)}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erf}(x) $$

$\mathrm{erf}(x)$ la función de error que es no una función elemental.

Así aunque no exista una solución general, que estoy seguro que hay especial casos como solución es factible.