Ejemplo de función Riemann integrable tal que $\int^{a+1}_a f(x)dx=0$ pero $f(x)\neq 0$

Question

Estoy buscando una función Riemann integrable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $\int^{a+1}_a f(x)dx = 0$ para todo $a \in \mathbb{R}$, pero $f(x) \neq 0$.

Sospecho que la función piso está involucrada aquí, si es así, ¿cómo?

¡Gracias a todos!

Para aclarar: $f$ no debe ser idénticamente igual a $0$, y debe ser integrable en cualquier intervalo finito.

Answer 1

¿Qué hay acerca de la función característica de un conjunto unitario?

Answer 2

Si te refieres a "Riemann integrable en cada intervalo finito", prueba con $f(x)=\sin{2\pi x}$. Si necesita ser distinto de cero en todos lados, puedes redefinirlo como $1$ para $2x\in\mathbb Z$.

Answer 3

Considere cualquier función periódica integrable con período $1$, que se integra en $0$, es decir, sea $g(x)$ cualquier función definida en el intervalo $[0,1]$. Luego considere $$f(x) = \begin{cases} g(x) - \underbrace{\int_0^1 g(x) dx}_b & \text{si }x\in[0,1]\\ g(\{ x\}) - b & \text{en otro caso}\end{cases}$$

Answer 4

¿Qué tal las funciones trigonométricas?