Hace un incontable discretos subespacio de los reales existen?

Question

Hace un incontable y discreto subespacio de los reales existen?

Answer 1

Varias de las respuestas dadas se basan en la integridad o la compacidad, pero estas propiedades no son necesarios. Por ejemplo, no hay incontables discretos subespacio de las irrationals. Los reales son un segundo contable de espacio, por lo que cualquier subespacio también es segundo contable, que impide que el subespacio de tener un incontable discretos subespacio.

La prueba es como sigue. Supongamos que $A$ es un espacio discreto con una contables base $(B_j : j \in \mathbb{N})$. Queremos demostrar a $A$ es contable. Discreto de $A$ significa que de cada $a \in A$ es en algunos básico conjunto abierto que contiene a $a$ y ningún otro punto en $A$. Por lo tanto, podemos hacer un mapa de $f$ que envía cada uno de los $a \in A$ al menos $j \in \mathbb{N}$ tal que $B_j = \{a\}$. Esta es una inyección de$A$$\mathbb{N}$, lo $A$ es contable.

Answer 2

Edit: La siguiente "prueba" no es correcto, como se señaló en los comentarios. Carl Mummert y Asaf Karagila han dado argumentos que parece correcto para mí.

La respuesta en no.

Deje $M\subset\mathbb R$ ser un incontable subespacio. Entonces no es $n\in\mathbb N$ tal que $M\cap [-n,n]$ es infinito (de lo contrario $M$ fue contables).

Desde $[-n,n]$ es compacto, el conjunto infinito $M\cap [-n,n]$ tiene un punto de acumulación en $[-n,n]$ y, por tanto, en $\mathbb R$. Por lo tanto, $M$ no puede ser discretos.

Answer 3

No. Tomar un incontable subconjunto de los números reales, entonces tiene que haber algo de $k$ tal que hay una cantidad no numerable de mentira en $[k,k+1]$.

Inductivamente definimos más pequeños y más pequeños intervalos en los que hay una cantidad no numerable de elementos. Estos pueden ser tomadas como cerrado, y su intersección será vacía por Cantor del teorema.

Por lo tanto, toda la multitud innumerable de reales tiene un punto de acumulación y por lo tanto no es discreto.

Answer 4

Suponga $X\subseteq\mathbb{R}$ es incontable y discretos, es decir,. cada punto de $x\in X$ es aislado. Por tanto, para cada punto de $x\in X$ hay una vecindad $U_x$ tal que $U_x\cap X=\{x\}$. Ahora, con este y el orden de $\mathbb{R}$ podemos encontrar la cubierta de $X$ que consiste en abrir distintos conjuntos de $\{U_x\}_{x\in X}$ pt. $U_x\cap X=\{x\}$ por cada $x\in X$. Desde $\mathbb{R}$ es separable, esta colección debe ser contables, y, por tanto, $X$ es contable, lo que contradice la hipótesis.

Answer 5

Cada innumerable conjunto de los reales contiene un punto límite de sí mismo. De hecho, si $A$ es incontable, todos, pero countably muchos puntos de $A$ límite de puntos de $A$.

Ver, por ejemplo, aquí

Por supuesto, conjuntos discretos no contienen ninguna de su límite de puntos.