Mostrar que $\mathbb{Q}^+/\mathbb{Z}^+$ no se puede descomponer en la suma directa de grupos cíclicos.

Question

$\newcommand{\ZZ}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}} \newcommand{\FF}{{\mathbb{F}}} \newcommand{\PP}{{\mathbb{P}}} \newcommand{\RR}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\CC}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\ra}{{\rightarrow}} \newcommand{\eps}{{\epsilon}}$

Demostrar que el cociente grupo $\QQ^+/\ZZ^+$ no puede ser descompuesto en la suma directa de grupos cíclicos.

Lo que yo tenía era:

Supongamos $\QQ^+/\ZZ^+$ descompone en la suma directa de grupos cíclicos $\bigoplus H_i$. Evidentemente $\QQ^+/\ZZ^+$ no es cíclico, porque si $r>0$ fueron el generador, a continuación,$r/2$, que es racional, no estaría incluido. Por lo tanto sabemos si se descompone debe descomponer en al menos dos adecuada subgrupos no triviales y cualquiera de los dos grupos debe intersectar trivialmente. Deje $H_k$ ser el subgrupo cíclico en la descomposición que se genera por $\frac{a}{b}$ donde$a,b \in \ZZ$$gcd(a,b)=1$. De hecho, si $a\neq1$ debe estar contenida en la suma directa de $\bigoplus_{i\neq k} H_i$ que contiene $\frac1b$, por lo que se incluirá $\frac{a}{b}$. Por lo tanto sabemos que todos los subgrupos $H_i$ debe ser generado por un elemento de la forma $\frac1b$. Ahora dicen que un subgrupo de $H_k$ es generado por $\frac1b$, luego está contenida en la suma directa de $\bigoplus_{i\neq k} H_i$ porque en $\bigoplus_{i\neq k} H_i$ debe $\frac1{b^2}$ desde $\bigoplus H_i = \QQ^+/\ZZ^+$. Por lo tanto, podemos volver a la original argumento, por una arbitraria subgrupo cíclico en la descomposición de la $\QQ^+/\ZZ^+$, es generado por algún elemento positivo $r$, y sabemos que no es un elemento menor $r/2 \in \QQ^+/\ZZ^+$ que este elemento no va a generar. Este elemento menor por lo tanto se genera por la suma directa de todos los otros subgrupos en la descomposición, y la suma de $r/2+r/2=r$, de modo que original subgrupo cíclico no puede estar en la suma directa de descomposición. Es una contradicción! Por lo tanto $\QQ^+/\ZZ^+$ no puede ser descompuesto en la suma directa de grupos cíclicos.

Sin embargo, no estoy seguro de que esto funciona. Por favor, ayuda!

Answer 1

Algunos comentarios:

1. Se están mezclando elementos de $\mathbb{Q}$ con elementos de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. El segundo son las clases de congruencia modulo $\mathbb{Z}$. Mejor mantenerlos en orden.

2. Usted afirma que si $\mathbb{Q}=\oplus H_k$, e $\frac{a}{b}+\mathbb{Z}$ es un generador de uno de los sumandos, entonces no es un sumando directo que contiene $\frac{1}{b}+\mathbb{Z}$; usted no tiene una orden para que la afirmación; ¿por qué no $\frac{1}{b}+\mathbb{Z}$ tiene más de uno no trivial de coordenadas en la suma directa? Mejor: mostrar que $\frac{1}{b}+\mathbb{Z}\in\langle \frac{a}{b}+\mathbb{Z}\rangle$, utilizando el hecho de que $\gcd(a,b)=1$. Que va a demostrar que siempre se puede seleccionar un generador de la forma $\frac{1}{b}+\mathbb{Z}$, que parece ser lo que usted está tratando de hacer en el primer lugar.

3. Su argumento es turbio y muy complejo. Es más sencillo para mostrar que cualquiera de los dos subgrupos no triviales de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ debe intersectar, por lo que cualquier suma directa de descomposición $A\oplus B$ $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ han $A$ o $B$ trivial. A continuación, utilice su argumento para demostrar que el grupo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ no es cíclica con el fin de terminar la prueba. En realidad, esta propuesta se trabaja para $\mathbb{Q}$, pero no necesariamente para $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$; por ejemplo, la Prufer $p$-los grupos son subgrupos de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ sino que se cruzan trivialmente para distintos números primos. Lo siento por eso.

   En su lugar, utilice un argumento similar a lo que había antes: si $\mathbb{Q}/\mathbb{Z} = \bigoplus H_k$, seleccione $b_k\in\mathbb{Z}$, mayor que $1$ sin pérdida de generalidad (desde $b_k=1$ significa que el subgrupo generado por a $\frac{1}{b_k}+\mathbb{Z}$ es trivial y puede ser omitido), de tal manera que $\frac{1}{b_k}+\mathbb{Z}$ genera $H_k$. A continuación, seleccione un determinado sumando directo, decir $H_1$; considerar el elemento $\frac{1}{b_1^2}+\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Ya que es un elemento de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}=\oplus H_k$, entonces podemos expresar como: $$\frac{1}{b_1^2}+\mathbb{Z} = \sum_k\left(\frac{a_k}{b_k}+\mathbb{Z}\right)$$ para algunos $a_k\in\mathbb{Z}$, $b_k|a_k$ en casi todas las $k$ (ya que casi todos los componentes deben ser trivial). A continuación, la adición de a $b_1$ veces tenemos que $$\frac{1}{b_1}+\mathbb{Z}=b_1\left(\frac{1}{b_1^2}+\mathbb{Z}\right) = b_1\sum_k\left(\frac{a_k}{b_k}+\mathbb{Z}\right) = \sum_k\left(\frac{a_kb_1}b_k+\mathbb{Z}\right).$$ Por lo tanto, la equiparación de los componentes, obtenemos que $b_k|a_kb_1$ todos los $k\neq 1$, e $b_1|a_1b_1-1$. Pero el segundo implica $b_1|1$, que es un poco de un problema.

Answer 2

$\newcommand{\ZZ}{{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}} \newcommand{\FF}{{\mathbb{F}}} \newcommand{\PP}{{\mathbb{P}}} \newcommand{\RR}{{\mathbb{R}}} \newcommand{\CC}{{\mathbb{C}}} \newcommand{\ra}{{\rightarrow}} \newcommand{\eps}{{\epsilon}}$ La incorporación de lo que he aprendido de Arturo, aquí es donde estoy ahora.

Supongamos $\QQ^+/\ZZ^+$ descompone en la suma directa de grupos cíclicos $\bigoplus H_i$. En primer lugar vamos a mostrar que $\QQ^+/\ZZ^+$ sí no es cíclico.

Lema: Un subgrupo cíclico de $\QQ^+/\ZZ^+$, por definición, tiene al menos un generador, evidentemente va a ser de la forma $\langle \frac{a}b\rangle$, y podemos tener ese $\gcd(a,b)=1$. Por la identidad de Bezout, sabemos que hay entero soluciones en $x,y$ a de la ecuación de $ax+by=1$ si $\gcd(a,b)=1$. Por lo tanto, uno de los pares de soluciones de $(x_0,y_0)$: lo $\frac{1-by_0}{a}=x_0$. Por lo tanto, tenemos que $\langle \frac{a}b\rangle \times \frac{1-by_0}{a}= \langle \frac{a}b \times \frac{1-by_0}{a}\times \frac{1-by_0}{a}\rangle = \langle \frac1b \times 1-by_0 \times x_0\rangle = \langle \frac1b \rangle $. Por lo tanto para cualquier subgrupo cíclico de $\QQ^+/\ZZ^+$ existe un entero $b$ tal que $\langle \frac1b\rangle$ genera.

Para mostrar que $\QQ^+/\ZZ^+$ sí no es cíclica, suponemos que es. Por el lema existe algún entero $b$ tal que $\langle \frac1b\rangle$ genera. Sin embargo, los únicos elementos que esta cosa puede generar con la operación de suma se $\langle\frac{c}b\rangle$ donde $c\in\{0, 1,\ldots,b-1\}$. Por lo tanto la equivalencia de la clase $\langle\frac1{2b}\rangle$ no está incluido en el grupo generado por $\langle\frac1b\rangle$, lo cual es una contradicción.

Ahora sé que si hubiera una descomposición en suma directa de grupos cíclicos, debe haber al menos dos adecuada no trivial de la no intersección subgrupo cíclico que generan todos los de $\QQ/\ZZ$. Por favor, ayuda!