Mostrar una matriz M es invertible si y sólo si los valores propios de la A son todas distintos

Question

Dada una matriz $A \in M_n(\mathbb{C})$, definir una matriz $$ M =\begin{pmatrix}n&tr({A})&tr({A^2})&\cdots&tr(A^{n-1})\\tr({A}) &tr({A^2})&tr({A^3})&\cdots&tr({A}^n)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ tr({A}^{n-2}) &tr({A^{n-1}})&tr({A^{n}})&\cdots&tr({A}^{2n-1})\\ tr({A}^{n-1}) &tr({A^n})&tr({A^{n+1}})&\cdots&tr({A}^{2n-2})\end{pmatrix} $$

¿Podemos mostrar que $M$ es invertible si y sólo si los valores propios de $A$ son todos distintos? Tengo la sensación que esto se relaciona con la matriz de Vandermonde. También tengo algunos trabajos usando la linealidad de la traza y el teorema de Cayley-Hamilton. ¿Tenemos otros pensamientos en cuanto a cómo abordar este problema?

Tenga en cuenta que la matriz es compleja, por lo que no sabemos si es diagonalizable.

Answer 1

Que $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ser los valores propios de $A$ y considerar la matriz de Vandermonde

$$ V = V(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \begin{bmatrix} 1 & \ldots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \ldots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix} $$

Entonces

$$VV^T = \begin{bmatrix} n & \ldots & \sum_i \lambda_i^{n-1} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_i \lambda_i^{n-1} & \ldots & \sum_i \lambda_i^{2n - 2} \end{bmatrix} = M$$

Por lo tanto $M$ es invertible si y sólo si $V$ es invertible si y sólo si el %#% de #% son distintos.