Integrando sobre una potencia de la infinitesimal

Question

No sé si el título tiene sentido (o si la pregunta tiene sentido en absoluto para que la materia), pero aquí voy.

Supongamos que tengo una función constante a trozos $y=f(x)$$x,y\in\mathbb{R}^+$, que se describe como sigue \begin{align} y = \left\{ \begin{array}{lr} y_1 : x \in [0,x_1)\\ y_2 : x \in [x_1,x_2)\\ \ \vdots\\ y_n : x \in [x_{n-1},x_n) \end{array} \right.\end{align}

Ahora para este tipo de función que se define una cantidad denominada $C$ que es dada por $$ C = \sum_{i=1}^n y_i(x_i - x_{i-1})^k $$ donde $k \in (1,2)$.

Quiero ser capaz de calcular esta cantidad de positivos arbitrarios funciones con valores que tienen un número finito de discontinuidades en el intervalo de $[0,x_n)$. No puedo averiguar cómo ir de la suma anterior a la integración.

Tengo la sensación de que si defino una medida para un intervalo cerrado $[a,b]$ $(b-a)^k$ que podría conducir a algo, pero entonces ¿cómo puedo calcular la integral de una función simple como $y = x$? Estoy un poco perdido. Realmente agradecería un poco de ayuda.

Answer 1

Como Pedro Franek observa en los comentarios, su formulación no va a conducir a un objeto útil, porque va a resultar que cualquier limitación de proceso en la partición le dará un resultado de cero.

La razón de lo anterior, así como la adecuada formulación de su intuición, es el mecanismo de medida de Hausdorff. El $k$-Hausdorff medida es una medida exterior en $\mathbb{R}^n$, y otras métricas espacios que normalmente es soportado en un conjunto de medida de Lebesgue cero (a menos $k=n$, cuando se da la medida de Lebesgue medibles para juegos) y es una herramienta importante para distinguir el "tamaño" de los conjuntos de medida cero (que, de lo contrario, son sólo... cero de la medida de conjuntos!).

Para una magnífica introducción a la medida de Hausdorff y los asociados a la dimensión del concepto, leer Gerald Edgar Medida, la Topología y la Geometría Fractal. Es accesible, bien escrito y contiene un buen montón de conceptos, participar de un marco adecuado para la intuición de que usted está tratando de formalizar en tu post.