Cuando he trazado la (normalizada) de Legendre polynoials, no pude dejar de notar que todos los locales de maxima yacía en una muy buena curva:
¿Cuál es la ecuación de la curva (y ¿cómo podemos llegar a la ecuación)?
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Yo reclamo que la curva es $$y=\pm \frac{\sqrt{2/\pi}}{ \sqrt[4]{1-x^2}}.$$ Este argumento no ser riguroso, y se cite una fuente no he entendido completamente.
Echa un vistazo a Whittaker y Watson, Un curso en el Análisis Moderno, p. 316. Escribe: $$P_n(\cos \theta) = \frac{4}{\pi} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{3\cdot 5 \cdots (2n+1)} \left( \frac{\cos[(n+1/2) \theta - \pi/4]}{(2 \sin \theta)^{1/2}} + \frac{\cos[(n+3/2) \theta - 3\pi/4]}{2(2n+3) (2 \sin \theta)^{3/2}}+ \cdots \right)$$
... Digo también que los primeros términos de esta serie dará un valor aproximado de $P_n(\cos \theta)$ para todos los valores de $\theta$ $0$ $\pi$ que no son casi iguales a $0$ o $\pi$.
Esta aproximación parece ser muy bueno en la práctica. En la foto de abajo, la curva azul es $P_5(x) \sqrt{\sin(\cos^{-1} x)}$ y la curva roja es $512/(63 \sqrt{11} \pi)*\cos((11/2) \cos^{-1}(x) - \pi/4)$. (Estos son los mismos normalizaciones user79365 está utilizando en su post.)
Supongo que, en más de una lengua moderna, los autores dicen que este es un asintótica de la serie para $P_n(\cos \theta)$, válido en $(0, \pi)$. He tomado las libertades de la aplicación de algunas algebraicas reordenamientos, en sustitución de su parámetro de $\phi$ por su definición y detener la suma después de dos términos, en lugar de los cuatro que dan. También, están utilizando la normalización de donde $\int_{-1}^1 P_n^2 = 2/(2n+1)$, de manera que te gustaría multiplicar por $\sqrt{(2n+1)/2}$.
Fijo $\theta$, el segundo término está delimitado por $c/n$. Los períodos posteriores (no se muestra) mueren incluso más rápido como $n$ crece. Así $$\tilde{P}_n(\cos \theta)\approx \frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{3\cdot 5 \cdots (2n+1)} \frac{\cos[(n+1/2) \theta - \pi/4]}{(2 \sin \theta)^{1/2}}$$ como $n \to \infty$. El $\sim$ sobre el $P$ indica que estoy usando ahora su normalización. Mientras $\theta/\pi$ es irracional, que $\cos$ plazo que oscilará entre el$1$$-1$, llegando arbitrariamente cerca de ambos extremos. Así $$\lim \sup_{n \to \infty} \tilde{P}_n(\cos \theta) = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{3\cdot 5 \cdots (2n+1)} \frac{1}{(2 \sin \theta)^{1/2}}$$
Tomando $1/\sqrt{\sin \theta} =1/\sqrt[4]{1-x^2}$ fuera de todo, tenemos que calcular el $$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{2n+1}{2}} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{3\cdot 5 \cdots (2n+1)} \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Este límite es similar a la de Wallis del producto, y creo que la segunda y tercera pruebas en la página de la Wikipedia debe ser adaptable a evaluar. He utilizado la tercera prueba, por Stirling aproximación: $$ \sqrt{2n+1} \frac{2 \cdot 4 \cdots (2n)}{3\cdot 5 \cdots (2n+1)} = \sqrt{2n+1} \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!} \approx \sqrt{2n+1} \frac{2^{2n} (n/e)^{2n} (2 \pi n)}{((2n+1)/e)^{2n+1} \sqrt{2 \pi (2n+1)}}$$ $$=\frac{2 \pi n \sqrt{2n+1}}{(1+1/2n)^{2n} \cdot (2n+1)/e \cdot \sqrt{2 \pi (2n+1)}}=\frac{e \sqrt{2 \pi}}{(2+1/n) (1+1/2n)^{2n}} \approx \frac{\sqrt{2 \pi}}{2}.$$
Volver a poner en el otro constantes dio el resultado que he estado anteriormente.
Comentario Es divertido nota que $$\int_{-1}^1 \left(\frac{\sqrt{2/\pi}}{\sqrt[4]{1-x^2}} \right)^2 dx = 2.$$ Por lo $P_n^2$ es, en promedio, la mitad de la envolvente por encima de ella.
Gracias a user79365 para proporcionar la siguiente imagen: Los polinomios de Legendre son en azul y por encima de la curva en rojo. También es interesante observar el agrupamiento en valores como la $x=\pm 1/2$$x = 0$, cuando se $\cos^{-1}(x)$ es un racional múltiples de $\pi$.
ˈjuː.zɚ79365
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Las estimaciones de la forma $$(1-x^2)^{1/4}|P_n(x)|<Cn^{-1/2}\tag{A1}$$ (here and in the sequel $-1\le x\le 1$) have a long history. Stiltjes obtained (A1) with unspecified $C$ in 1890. Gronwall (1913) and Fejer (1925) had explicit constants in (A1). Bernstein (1937) proved (A1) with sharp constant $C=\sqrt{2/\pi}$; su prueba se presenta en Polinomios Ortogonales por Szegő, sección 7.3.
En términos de la $L^2$normalizado polinomios $\widetilde P_n=\sqrt{(2n+1)/2}\,P_n$, el fuerte (Bernstein) forma de (A1) se convierte en
$$(1-x^2)^{1/4}|\widetilde P_n(x)|\le \sqrt{\frac{2n+1}{\pi n}} \tag{A2}$$
donde el lado derecho, obviamente, enfoques $\sqrt{2/\pi}$.
Pero la más fuerte y más simple de la desigualdad $$(1-x^2)^{1/4}|\widetilde P_n(x)| \le \sqrt{\frac{2}{\pi}} \tag{1}$$ también es cierto y es muy apretado. En el gráfico siguiente, (A2) está en verde, mientras que (1) es, en rojo; la curva azul es $\widetilde P_9$.
La prueba de (1). Vamos a volver a la original polinomio de Legendre $P_n$. En términos de $P_n$ (1) toma la forma $$(1-x^2)^{1/4}|P_n(x)|\le \frac{2}{\sqrt{\pi (2n+1)}} \tag2$$
Teorema 7.3.3 en Polinomios Ortogonales por Szegő (originalmente demostrado por Bernstein) es más preciso que (A1). Se dice que $$(1-x^2)^{1/4}|P_n(x)| \le |P_n(0)|,\quad \text{if $n$ is even} \tag3$$ $$(1-x^2)^{1/4}|P_n(x)| < \frac{2}{\sqrt{(2n+1)^2+1}}|P_n'(0)|,\quad \text{if $n$ is odd} \tag4$$ Croquis de la prueba de (3)-(4). Deje $u(\theta)=\sqrt{\sin\theta}P_n(\cos\theta)$$\theta\in [0,\pi/2]$. Compruebe que $u''(\theta)+\varphi(\theta)u(\theta)=0$ donde $\varphi(\theta)=(n+1/2)^2+1/(2\sin\theta)^2$. Mostrar que $u^2+(u')^2/\varphi$ ha positiva derivada en el intervalo de $(0,\pi/2)$. En$\theta=\pi/2$, $u$ o $u'$ se desvanece, y (3)-(4) siga. $\Box$
A partir de los coeficientes de los polinomios de Legendre vemos que $$|P_{2k}(0)|=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \tag5 $$ $$|P_{2k+1}'(0)|=\frac{(2k+1)!!}{(2k)!!} \tag6 $$ El caso de $n=2k$ resulta ser más fácil. Una versión refinada de Wallis' fórmula del producto, demostrado por D. K. Kazarinoff en En Wallis de la fórmula, los estados $$\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} = \frac{1}{\sqrt{\pi(n+\theta)}},\quad \frac14<\theta<\frac12 \tag7 $$ A partir de (5) y (7) tenemos $$|P_{2k}(0)|<\frac{1}{\sqrt{\pi(k+1/4)}} = \frac{2}{\sqrt{\pi (4k+1)}} $$ que en vista de (3) se obtiene (2).
En lugar de referirse a Kazarinoff del papel se puede demostrar directamente que $$\left(\frac{(2k)!!}{(2k-1)!!}\right)^2\frac{4}{4k+1} \searrow \pi \tag8$$ De hecho, el límite es de $\pi$ por Wallis de la fórmula, y para demostrar que el lado izquierdo es la disminución, uno tiene que comprobar que $$ \left(\frac{2k+2}{2k+1}\right)^2\frac{4k+1}{4k+5}< 1 \tag9$$ Compensación de los denominadores en (9), se obtiene $ (2k+2)^2 (4k+1)- (2k+1)^2(4k+5) = -1 <0$ lo que da (9).
Podemos esperar que el caso de $n=2k+1$ a ser más difícil, ya que (4) no es nítida, a diferencia de (3).
Y, de hecho, la combinación de (4), (6) y (7) no rendimiento (2). En su lugar,
podemos utilizar una monotonía hecho similar a (8), aunque menos elegante:
$$\left(\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}\right)^2\frac{(4k+3)^2+1}{4k+3} \searrow \pi \tag{10}$$
De hecho, el límite es de $\pi$ por Wallis de la fórmula, y para demostrar que el lado izquierdo es
la disminución, uno tiene que comprobar que
$$ \left(\frac{2k+2}{2k+3}\right)^2 \frac{(4k+7)^2+1}{4k+7}\frac{4k+3}{(4k+3)^2+1} < 1 \tag{11}$$
Compensación de los denominadores en (11), se obtiene
$$ (2k+2)^2((4k+7)^2+1)(4k+3) -(2k+3)^2((4k+3)^2+1)(4k+7) = -(4k+5)^2-5<0$$
lo que da (11).
A partir de (10) se deduce que $$ \frac{(2k+1)!!}{(2k)!!}\frac{2}{\sqrt{(4k+3)^2+1}} < \frac{2}{\sqrt{\pi(4k+3)}} \tag{12}$$ La combinación de (6) y (12) obtenemos $$ \frac{2}{\sqrt{(4k+3)^2+1}}|P_{2k+1}'(0)| < \frac{2}{\sqrt{\pi(4k+3)}}$$ que en vista de (4) se obtiene (2). $\Box$
rck
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Todos los locales de maxima qué no sentarse en el mismo "curva agradable".
En virtud de Wikipedia, la normalización de la con $\|P_n\|^2 = \frac{2}{2n+1}$ podemos utilizar el Capó del recursividad fórmula para conseguir que
$$ (n+1)P_{n+1}(0) = - n P_{n-1}(0) $$
Desde su "normalizado" $\sqrt{\frac{2}{2n+1}}\tilde{P}_n = P_n$ obtenemos que, bajo su normalización
$$ \frac{n+1}{n} \sqrt{\frac{2n-1}{2n+3}} |\tilde{P}_{n+1}(0)| = |\tilde{P}_{n-1}(0)| $$
El factor multiplicativo es
$$ \frac{n+1}{n} \sqrt{\frac{2n-1}{2n+3}} = \sqrt{ \frac{2n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 + 3n^2}} < 1 $$
Por lo tanto, tenemos que el máximo local en a $x = 0$ $n = 0\pmod 4$ es estrictamente creciente, y por lo tanto, no todos pertenecen a la misma curva.
Tal vez la pregunta que te quiero preguntar es: ¿cuál es la menor convexo función definida en $(-1,1)$ que es mayor que o igual a la cantidad normalizada de polinomios de Legendre $\tilde{P}_{n}$?
