Cómo integrar$\int\sqrt{\frac{4-x}{4+x}}$?

Question

Deje que

$$g(x)=\sqrt{\dfrac{4-x}{4+x}}.$$

Me gustaría encontrar a la primitiva de $g(x)$, decir $G(x)$.

Hice lo siguiente: en primer lugar el dominio de $g(x)$ es $D_g=(-4, 4]$. En segundo lugar, tenemos

\begin{align} G(x)=\int g(x)dx &=\int\sqrt{\dfrac{4-x}{4+x}}dx\\ &=\int\sqrt{\dfrac{(4-x)(4-x)}{(4+x)(4-x)}}dx\\ &=\int\sqrt{\dfrac{(4-x)^2}{16-x^2}}dx\\ &=\int\dfrac{4-x}{\sqrt{16-x^2}}dx\\ &=\int\dfrac{4}{\sqrt{16-x^2}}dx-\int\dfrac{x}{\sqrt{16-x^2}}dx\\ &=\int\dfrac{4}{\sqrt{16(1-x^2/16)}}dx+\int\dfrac{-2x}{2\sqrt{16-x^2}}dx\\ &=\underbrace{\int\dfrac{1}{\sqrt{1-(x/4)^2}}dx}_{\text{set %#%#%}}+\sqrt{16-x^2}+C\\ &=\underbrace{\int\dfrac{4}{\sqrt{1-t^2}}dt}_{\text{set %#%#%}}+\sqrt{16-x^2}+C\\ &=\int\dfrac{4\cos\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}}d\theta+\sqrt{16-x^2}+C\\ \end {Alinee el}

Finalmente, consigo

$t=x/4$$

Con wolframalpha encontré una respuesta diferente. ¿Podría proporcionar alguna sugerencia?

¿Además, multiplicar por $t=\sin \theta$ es correcto al principio? porque debo decir entonces que $$G(x)=\pm\theta+\sqrt{16-x^2}+C'.$.

Answer 1

Primero de todo, tienes razón en que hay problemas en la multiplicación por $\frac{4-x}{4-x}$ al $x=4$. Pero ¿por qué molestarse con el dominio $\langle-4,4]$ en el primer lugar? Usted puede cambiar el integrando en un punto sin cambiar integral, de modo que un punto es irrelevante. Por lo tanto, escoja $D_g = \langle-4,4\rangle$.

El único otro problema es el que ya he mencionado en los comentarios. Si sustituye $t = \sin\theta \in\langle -1,1\rangle$, acaba de elegir a $\theta$ $\langle-\frac\pi 2,\frac\pi 2\rangle$ (sustitución es natural bijection de esa manera). Entonces usted tiene que $\cos\theta>0$, y por lo tanto $\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta$.

Así, el resultado final debería ser $$4\theta + \sqrt{16-x^2} + C = 4\arcsin\frac x4 + \sqrt{16-x^2} + C$$ y si se diferencian, se puede ver que el resultado está bien.

Aunque el procedimiento está bien, en este caso, es posible que desee hacer trigonométricas sustitución de mucho antes:

$$\int\sqrt{\frac{4-x}{4+x}}\,dx = \int\frac{4-x}{\sqrt{16-x^2}}\, dx = [x = 4\sin t] =\int \frac{4-4\sin t}{4\cos t}\cdot 4\cos t\, dt=\\ = 4(t+\cos t)+C = 4\arcsin\frac x4 +4\cos(\arcsin\frac x4) + C = 4\arcsin\frac x4 +4\sqrt{1-\frac{x^2}4} + C$$

Answer 2

Solución de un problema más general, usando integración por partes:

$$\mathcal{I}_\text{n}\left(x\right)=\int\sqrt{\frac{\text{n}-x}{\text{n}+x}}\space\text{d}x=x\sqrt{\frac{\text{n}-x}{\text{n}+x}}+\text{n}\int\frac{x}{\left(\text{n}+x\right)^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{n}+x}-1}}\space\text{d}x$$

Ahora, sustituir $\text{u}=\text{n}+x$ y $\text{d}\text{u}=\text{d}x$:

$$\int\frac{x}{\left(\text{n}+x\right)^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{n}+x}-1}}\space\text{d}x=\int\frac{\text{u}-\text{n}}{\text{u}^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}$$

Separar la integral:

$$\int\frac{\text{u}-\text{n}}{\text{u}^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}=\int\frac{\text{u}}{\text{u}^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}-\int\frac{\text{n}}{\text{u}^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}=$$ $$\int\frac{1}{\text{u}\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}-\text{n}\int\frac{1}{\text{u}^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}$$

Por lo tanto:

1. $$\int\frac{1}{\text{u}\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}=\int\frac{1}{\sqrt{\text{u}}\sqrt{2\text{n}-\text{u}}}\space\text{d}\text{u}=2\arcsin\left\{\frac{\sqrt{\text{u}}}{\sqrt{2}\sqrt{\text{n}}}\right\}+\text{C}_1$$
2. Sustituto $\text{s}=\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1$ y $\text{d}\text{s}=-\frac{2\text{n}}{\text{u}^2}\space\text{d}\text{u}$: $$\int\frac{1}{\text{u}^2\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}\space\text{d}\text{u}=-\frac{1}{2\text{n}}\int\frac{1}{\sqrt{\text{s}}}\space\text{d}\text{s}=\text{C}_2-\frac{\sqrt{\frac{2\text{n}}{\text{u}}-1}}{\text{n}}$ $

Answer 3

Sustituir $x=4\frac{1-y^2}{1+y^2}$ así que $y=\sqrt{\frac{4-x}{4+x}}$: $$\begin{align} \int\sqrt{\frac{4-x}{4+x}}\,\mathrm{d}x &=4\int y\,\mathrm{d}\frac{1-y^2}{1+y^2}\\ &=-16\int\frac{y^2}{\left(1+y^2\right)^2}\,\mathrm{d}y\\ &=-16\int\frac{\tan^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\,\mathrm{d}\theta\\ &=-16\int\sin^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=-16\int\frac{1-\cos(2\theta)}2\,\mathrm{d}\theta\\ &=-8\theta+4\sin(2\theta)+C\\ &=-8\theta+8\frac{\tan(\theta)}{\sec^2(\theta)}+C\\ &=-8\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{4-x}{4+x}}\right)+\sqrt{16-x^2}+C \end {Alinee el} $$