¿Por qué los coeficientes son siempre iguales?

Question

Tome la ecuación $ax^{2} + bx + c = 3x^{2} + 4x + 53$ .

¿Por qué siempre es cierto que $a = 3, b = 4$ y $c = 53$ ?

He visto muchos ejemplos como éste en los que los coeficientes se equiparan, y me preguntaba por qué siempre es así.

Answer 1

Supongamos que $ax^{2} + bx + c = 3x^{2} + 4x + 53$ para todos $x$ o $ax^{2} + bx + c - (3x^{2} + 4x + 53) = 0$ para todos $x$ .

$ax^{2} + bx + c - (3x^{2} + 4x + 53) = 0$ es un polinomio de grado máximo $2$ por lo que por el teorema fundamental del álgebra tiene como máximo $2$ raíces si no es el polinomio cero.

Pero $ax^{2} + bx + c - (3x^{2} + 4x + 53) = 0$ tiene un número infinito de raíces (es cero para cada valor de $x$ ), por lo que debe ser el polinomio cero. Entonces tenemos $a=3$ , $b=4$ y $c=53$ .

$$ax^{2} + bx + c - (3x^{2} + 4x + 53) = (a-3)x^2+(b-4)x+(c-53)$$

Cada coeficiente debe ser igual a cero para que sea el polinomio cero, por lo tanto $a-3=0$ y $a=3$ . Del mismo modo, se tiene $b=4$ y $c=53$ .

Answer 2

La ecuación es válida para todos los $x$ tomar $x=0$ para conseguir $c=53$ . La ecuación se reescribe ahora como sigue $ax^2+bx=3x^2+4x$ y de nuevo esto es cierto para todos $x$ especialmente para decir $x=-{4\over 3}$ y la ecuación se ve ahora como ${16a\over 9}-{4b\over 3}=0$ y para $x=1$ obtenemos $a+b=7$ la solución del sistema en $(a,b)$ es $(3,4)$

En general, si dos polinomios son como $a_nx^n+\cdots+a_0=b_nx^n+\cdots+b_0$ para todo x esto significa $(a_n-b_n)x^n+\cdots+(a_0-b_0)$ tiene infinidad de soluciones mientras que tiene grado $n$ y por lo tanto todos sus coeficientes son $0$ que se traduce en $a_i=b_i\,\forall i$

Answer 3

He aquí una bonita forma de demostrarlo que creo que aún no se ha mencionado.

Si estás de acuerdo en que dos polinomios son iguales, también deberías estar de acuerdo en que sus derivados son iguales.

Dejemos que $f(x) = ax^2 + bx + c = 3x^2+4x+53$ .

Tomando la derivada de $f$ obtenemos:

$f'(x) = 2ax + b = 6x + 4$ .

Tomando la segundo derivada, obtenemos:

$f''(x) = 2a = 6$ .

Trabajando hacia atrás, podemos resolver cada una de las variables sucesivamente. La última ecuación da $a = 3$ . Pasando a la anterior, podemos sustituir $2ax$ con $6x$ y restar $6x$ de ambos lados para obtener $b=4$ . Y finalmente, volvemos al original para restar $3x^2 + 4x$ de ambos lados para obtener $c=53$ .

No es la forma más eficiente, pero no requiere ninguna evaluación del polinomio ni hablar de sus raíces.

Answer 4

El conjunto $\{1,x,x^2,...\}$ es un conjunto lineal independiente en el espacio vectorial de los polinomios de valor real ( $+$ y $\cdot$ definida de forma obvia). Entonces, por definición de independencia lineal, $$ \sum_{i=0}^n a_ix^i = \sum_{j=0}^m b_jx^j \iff a_i = b_j \quad \forall i,j<n=m. $$

Answer 5

Para intentar dar una respuesta más general a por qué $a=d$ , $b=e$ y $c=f$ dado que $ax^{2} + bx + c = dx^{2} + ex + f$ .

La reordenación da $ax^{2} + bx + c - (dx^{2} + ex + f) = 0$ combinando factores de $x$ da $(a-d)x^{2} + (b-e)x + (c-f) = 0$ .

De ello se desprende que cada uno de $(a-d)x^{2}$ , $(b-e)x$ y $(c-f)$ debe ser igual a $0$ .

Si $x$ puede tener cualquier valor, entonces $a - d = 0$ por lo tanto $a = d$ con lo mismo para $b = e$ y $c = f$ .

Hay que tener en cuenta que se pueden encontrar valores que signifiquen $a$ y $d$ , $b$ y $e$ y $c$ y $f$ no son iguales para valores específicos de $x$ . Por ejemplo $x$ = $0$ que permite $a$ , $b$ , $d$ y $e$ para tener algún valor.