Por qué es $f'(x) < f(x)/x$ $f''(x)<0$

Question

Cómo puede demostrar formalmente todos $x>0$

• $f(x) > 0$,
• $f'(x) > 0$, y
• $f''(x) < 0$

implica

$f'(x) < \frac{f(x)}{x}$?

Mi intuición (un poco chapucera) es esto: puesto que está disminuyendo el $f'(x)$, cualquier aumento marginal $f'(x_0)$, debe ser más pequeño que cualquier aumento marginal anterior $x<x_0$ y por lo tanto, más pequeño que el promedio de todos los anteriores aumentos marginales, que se da en $\frac{f(x_0)}{x_0}$.

Answer 1

Que $ F(x) = xf'(x)-f(x)$. Entonces es decreciente, $F'(x) = f'(x) + xf''(x) - f'(x) = x f''(x) \lt 0.$así $F(x)$ $x \gt 0.$

¿Puede usted concluir?

Answer 2

Si las condiciones que se dan sólo en un determinado $x$, entonces la afirmación no es verdadera. Tome $f(x) = 3-(x-1)^2$. Considere la posibilidad de $x=1-\epsilon$,$\epsilon>0$. A continuación, seleccionando $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, se puede encontrar un punto de $1-\epsilon$ tal que $f'(1-\epsilon) = 2 \epsilon < { f(1-\epsilon) \over 1 - \epsilon } = { 3 - \epsilon^2 \over 1 - \epsilon }$.

Si las condiciones para todos los $x >0$ (e $f$ es dos veces diferenciable para $x>0$), luego nos cuenta que desde $f(x) >0$$f'(x) >0$, $\lim_{x \downarrow 0} f(x)$ existe y es no negativo.

Así que podemos tomar $f$ a definirse en $x=0$, con un valor de $f(0)= \lim_{x \downarrow 0} f(x)$. El resultado $f$ es continua para $x \ge0$ y dos veces diferenciable para $x>0$.

Desde $f''(x) <0$, podemos ver que $f'(x)$ es estrictamente decreciente.

Por el valor medio teorema, para $x>0$ tenemos $f(x)-f(0) = f'(\xi)x$ algunos $\xi \in (0,x)$. Por lo tanto $f'(x) < f'(\xi) = { f(x)-f(0) \over x } \le { f(x) \over x }$ (desde $f(0) \ge 0$).