Aplicando el teorema de valor medio para demostrar $x/(1+x^2)<\arctan x<x$

Question

Demostrar aplicando el teorema del valor medio que $x/(1+x^2)<\arctan x<x$ $x>0$

Tengo la primera parte pero ¿cómo probar $\arctan x< x$ utilizando el MVT?

¿La primera parte se realiza fácilmente aplicando MVT en $\arctan x$, debo usar $\arctan x-x$ para la segunda parte? ¡Gracias!

Answer 1

Creo que lo tienes. Una aplicación de la MVT le da ambas partes:

Que $x>0$. Aplicando el teorema del valor medio a $f(x)=\arctan x$ en el intervalo $[0,x]$ da un número $c$ $0<c<x$ tal que $$ {\arctan x-\arctan 0\over x-0} = {1\over 1 + c ^ 2} $$ Reorganizar la anterior da: $$ \arctan x = {x\over 1 + c ^ 2}. $$ $c$ entre $0$y $x$.

Desde $x>c$ y $x\gt0$, tenemos: $${x\over 1+x^2}\lt{x\over 1+c^2}<x;$ $ donde $$ {x\over 1 + x ^ 2} \lt\arctan x\lt x. $$