¿Qué es? $f(f^{-1}(A))$ ?

Question

Supongamos que $f : E \rightarrow F$ .

¿Qué es? $f(f^{-1}(A))$ ? ¿Es siempre $A$ ? $f^{-1}$ es la función inversa.

Esto no es una tarea, estoy confundido por esta declaración.

Answer 1

$f[f^{-1}[A]] = \{ f(x): x \in f^{-1}[A] \} = \{f(x): x \in E \text{ such that } f(x) \in A\}$ como la definición de $f^{-1}[A]$ es todo $x \in E$ tal que $f(x) \in A$ .

Así que son todos los puntos de $A$ que son realmente alcanzados por los valores de $f$ Así que $f[E] \cap A$ .

Answer 2

$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} $ (Esta es esencialmente la misma respuesta que la de Henno Brandsma, pero un poco más ampliada en la notación que me gusta más, dando pasos más pequeños).

Qué elementos $\;y\;$ están en $\;f[f^{-1}[A]]\;$ ? Ampliemos las definiciones. (Implícitamente, dejamos que $\;x \in E\;$ y $\;y \in F\;$ .)

$$\calc y \in f[f^{-1}[A]] \calcop{\equiv}{definition of $ \N - [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] $} \langle \exists x : x \in f^{-1}[A] : f(x) = y \rangle \calcop{\equiv}{basic property of $ \;\cdot^{-1}[\cdot]\; $} \langle \exists x : f(x) \in A : f(x) = y \rangle \calcop{\equiv}{logic: substitute for $ \;y\; $ in left hand part from right hand part} \langle \exists x : y \in A : f(x) = y \rangle \calcop{\equiv}{logic: extract part not using $ \;y\; $ out of $ \N - Existencias; $} y \in A \;\land\; \langle \exists x :: f(x) = y \rangle \calcop{\equiv}{make implicit range explicit} y \in A \;\land\; \langle \exists x : x \in E : f(x) = y \rangle \calcop{\equiv}{definition of $ \N - [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] [ud.] $} y \in A \;\land\; y \in f[E] \calcop{\equiv}{definition of $ \N - El capitán; $} y \in A \cap f[E] \endcalc$$

Por extensionalidad del conjunto, $\;f[f^{-1}[A]] \;=\; A \cap f[E]\;$ .