La imagen lineal continua de un conjunto cerrado, acotado y convexo de un espacio de Hilbert es compacta

Question

¿Es correcta mi prueba de esta proposición? ¿Y es esta proposición bien conocida?

Propuesta: Dejemos que $C$ sea un conjunto cerrado, acotado y convexo en un espacio de Hilbert separable $H$ . Sea $L : H \to \mathbb{R}^n$ sea una transformación lineal continua. Entonces $L(C)$ es compacto en $\mathbb{R}^n$ .

Prueba: Desde $H$ es un espacio de Banach, y $C$ es cerrado y convexo, $C$ es débilmente cerrado (Teorema de Mazur en Lang Análisis real ). Dado que $H$ es un espacio de Banach reflexivo, las bolas cerradas son débilmente compactas (Teorema de Kakutani). Dado que $C$ está acotado está contenido en una bola débilmente compacta, y como $C$ es débilmente cerrado, $C$ es débilmente compacto.
Desde $L$ es continua en las topologías fuertes, es continua en las topologías débiles (este hecho parece ser bien conocido). Así que $L(C)$ es débilmente compacto en $\mathbb{R}^n$ , y como las topologías débil y fuerte en $\mathbb{R}^n$ son los mismos, $L(C)$ es compacto en $\mathbb{R}^n$ . $\square$

La convexidad es esencial. Si no, tengo un contraejemplo.

No se trata de un problema de deberes. La motivación viene de la física del color. En mi caso $H$ es $L^2([380,780])$ donde 380 y 780 son las longitudes de onda de la luz en nanómetros. $C$ es el subconjunto de funciones que toman valores en $[0,1]$ y cada una de estas funciones representa la reflectancia espectral (o la transmitancia espectral) de un material en este intervalo de longitudes de onda. $\mathbb{R}^n$ es el espacio 3D de las coordenadas triestímulo CIEXYZ. $L$ es el mapeo lineal de la reflectancia del material a CIEXYZ, para un iluminante espectral fijo. $L(C)$ es el conjunto de todos los posibles colores del material para el iluminante dado.

Gracias.

Answer 1

Sí, correcto y también es cierto en los espacios de Banach reflexivos. El teorema de Kakutani (al menos el sentido que utiliza en la demostración) es también un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu. En Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales Albrecht Pietsch comenta

... el teorema de compacidad débil* es un corolario elemental del teorema de Tychonoff. Por lo tanto, las discusiones prioritarias son bastante superfluas. Sin embargo, he aquí una cronología: [...] Para ser históricamente completo, habría que hablar de

el Ascoli-Hilbert-Fréchet-Riez-Helly-Banach-Tychonoff-Alaoglu-Cartan-Bourbaki-Shmulyan-Kakutani teorema

Más concretamente, aquí hay otra presentación de esencialmente la misma prueba. Tomemos cualquier secuencia en $L(C)$ y escribirlo como $(L(x_n))$ . Utilizando la compacidad débil* antes mencionada (y la reflexividad), elija una subsecuencia débilmente convergente de $(x_n)$ , denotado como $(x_{n_k})$ . La convergencia débil implica la convergencia de $L(x_{n_k})$ ya que $L$ es sólo un número finito de funcionales lineales.

Además, el límite débil de $x_{n_k}$ se encuentra en $C$ ya que, de lo contrario, seríamos capaces de separarlo de $C$ por un hiperplano, contradiciendo la convergencia débil. Por lo tanto, el límite de $L(x_{n_k})$ se encuentra en $L(C)$ demostrando la compacidad.