Encuentre el valor de $\lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1-\frac{1}{\sqrt 2} \Big) \cdots \Big(1-\frac{1}{\sqrt {n+1}} \Big)$

Question

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1-\dfrac{1}{\sqrt 2} \Big) \cdots \Big(1-\dfrac{1}{\sqrt {n+1}} \Big)$$

Intento:

Dejemos que $y = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1-\dfrac{1}{\sqrt 2} \Big) \cdots \Big(1-\dfrac{1}{\sqrt {n+1}} \Big)$

$\ln y = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \Big( 1-\dfrac{1}{\sqrt 2} \Big)+ \cdots + \ln \Big(1-\dfrac{1}{\sqrt {n+1}} \Big)$

No soy capaz de avanzar realmente desde aquí. Podría alguien darme una pista sobre cómo avanzar con este problema.

Muchas gracias por su ayuda en este sentido.

Answer 1

Todos los factores son positivos, pero limitados por el último. Así, para todos los $n$ el producto está entre $0$ y $(1-1/\sqrt{n+1})^n$ . Lo que ocurre con esa expresión como $n\to+\infty$ ?